Геометрия. Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причем точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD и EF перпендикулярны.
Answers & Comments
ponytasherПеречерти мой рисунок. Далее рассматриваем тр.-ник ECD.В нём EC=CD(следовательно треугольник равнобедренный) и проведёндиаметр EK.Нам нужно доказать,что он (EK) перпендикулярен CD.Для этогостроим FC и FD,опять равнобедренный треугольник FCD,где FC=FD.Изравенства углов ECD=CDE и FCD=FDC получаем,что ECK=KDE.Выходит,чтотреугольник ECF и EDF равны по двум сторонам и двум углам между ними.Изэтого следует,что угол CEK=DEK. Теперь вернёмся к треугольнику ECD.В нём EK-биссектрисса,а значит и медиана.Отсюда следует,что CK=KD.Теорема доказана.
3 votes Thanks 4
MaryKeyt
Под конец сбились) Если ЕК-бис,то явл. и высотой,т.к. треугольник ЕСD-равноб.=> EK перпендикулярно СD
Answers & Comments
Далее рассматриваем тр.-ник ECD.В нём EC=CD(следовательно треугольник равнобедренный) и проведёндиаметр EK.Нам нужно доказать,что он (EK) перпендикулярен CD.Для этогостроим FC и FD,опять равнобедренный треугольник FCD,где FC=FD.Изравенства углов ECD=CDE и FCD=FDC получаем,что ECK=KDE.Выходит,чтотреугольник ECF и EDF равны по двум сторонам и двум углам между ними.Изэтого следует,что угол CEK=DEK.
Теперь вернёмся к треугольнику ECD.В нём EK-биссектрисса,а значит и медиана.Отсюда следует,что CK=KD.Теорема доказана.