может быть, площадь равна 24 см^2?

если так, то пусть катеты длины a и b

тогда имеем:

a^2+b^2=100 (теорема пифагора) 

a*b=48 (площадь равна произведению катетов пополам)

получаем a=48/b

подставим в 1е уравнение, получим

48*48/b^2+b^2=100 преобразуем, получаем:

48*48+b^4-100*b^2=0

решаем как квадратное (48*48=2304)
дискриминант равен 10000-4*2304=784=28*28

получаем b^2=(100-28)/2=36 или b^2=(100+28)/2=64 

отсюда b=6 или b=8 (очевидно, длина не может быть отрицательной)

отсюда из уравнения a=48/b получаем a=8 и a=6 соответственно 

легко заметить, что эти 2 случая симметричны и дают один и тот же ответ

ответ: длины катетов 6 и 8