Гирлянда состоит из 20 лампочек. Вероятность того, что за время T одна из лампочек не перегорит, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышёва, оцените вероятность того, что абсолютная величина разности между числом не перегоревших ламп и средним числом включённых ламп за время T окажется не меньше, чем три.
Ответ округлите до сотых.
Answers & Comments
Ответ: а) ≈0,64; б) ≈0,36
Пошаговое объяснение:
Положим, что случайная величина X – это число включенных лампочек за время T.
Поскольку проводятся повторные независимые испытания с двумя исходами, то
p=0,8
q=1–p=0,2
n=20,
следовательно, что случайная величина распределяется по биномиальному закону.
а это означает, что
M(X)=np=20·0,8=16
D(X)=npq=20·0,8·0,2=3,2
исходя из неравенства Чебышева:
P(|X–M(X)| < ε) ≥ 1–(D(X)/ε2)
а) Р(|X–16| < 3) ≥ 1– (3,2/92)=(9–3,2)/9=
=5,8/9=0,64444... ≈ 0,64
б)
Поскольку события | X–16| < 3 и |X–16| ≥ 3,
то
P(|X–M(X)| ≥ 3) =1– Р(|X–16| < 3) ≈
≈1 – 0, 64 = 0,36