Ответ:

Объяснение:

Для знаходження найменшого значення виразу 4х²-7х+25/х, потрібно спочатку знайти похідну цього виразу та прирівняти її до нуля:

(4x^2 - 7x + 25/x)' = 8x - 7 + (-25/x^2) = 0

Множення на x^2 дає:

8x^3 - 7x^2 - 25 = 0

Даний кубічний рівняння має єдиний додатний корінь x, оскільки за умовою х > 0. Знайдемо його, наприклад, за допомогою метода Ньютона-Рафсона:

Початкове наближення: x₀ = 1

Знаходимо наступні наближення за формулою:

x₁ = x₀ - f(x₀)/f'(x₀)

x₁ = 1 - (4(1)^2 - 7(1) + 25/1) / (8(1)^2 - 7(1) - 25/1^2)

x₁ = 1.5

x₂ = x₁ - f(x₁)/f'(x₁)

x₂ = 1.5 - (4(1.5)^2 - 7(1.5) + 25/1.5) / (8(1.5)^2 - 7(1.5) - 25/1.5^2)

x₂ ≈ 1.5811

x₃ ≈ 1.5866

x₄ ≈ 1.5867

Отже, найменше значення виразу 4х²-7х+25/х при х>0 дорівнює:

f(x₄) = 4(1.5867)² - 7(1.5867) + 25/1.5867 ≈ 17.36