Для того, чтобы найти функцию, обратную данной g(x), нужно выполнить следующие шаги:
Поменять местами x и y в формуле g(x) и получить x = g(y).
Решить полученное уравнение относительно y и получить y = h(x), где h(x) - это обратная функция для g(x).
Проверить, что h(g(x)) = x и g(h(x)) = x для любого x из области определения g(x).
Применим эти шаги к вашему примеру. Пусть g(x) = 2x^2 - 3.
Поменяем местами x и y и получим x = 2y^2 - 3.
Решим уравнение относительно y и получим y = ±√((x + 3)/2). Здесь мы используем знак ±, потому что квадратный корень может быть положительным или отрицательным. Это означает, что у нас есть две обратные функции: h_1(x) = √((x + 3)/2) и h_2(x) = -√((x + 3)/2).
Проверим, что h_1(g(x)) = x и g(h_1(x)) = x для любого x из области определения g(x). Аналогично, проверим, что h_2(g(x)) = x и g(h_2(x)) = x для любого x из области определения g(x).
Мы видим, что обе функции h_1(x) и h_2(x) являются обратными к g(x), но они определены на разных множествах. Функция h_1(x) определена только для неотрицательных значений x, а функция h_2(x) определена только для не положительных значений x. Это связано с тем, что функция g(x) не является инъективной, то есть она не проходит тест горизонтальной прямой1. Для того, чтобы получить единственную обратную функцию, нужно ограничить область определения или область значений функции g(x).
Для решения уравнения f(x) = g(x), где f(x) = 5x + 7, нужно приравнять правые части функций и решить относительно x:
5x + 7 = 2x^2 - 3
Перенесем все члены в одну сторону и приведем к стандартному виду:
2x^2 - 5x - 10 = 0
Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней2:
x = (5 ± √(25 + 80))/4
x ≈ -1.16 или x ≈ 4.32
Это два решения уравнения f(x) = g(x). Мы можем проверить их подстановкой в исходные функции:
f(-1.16) ≈ -0.8
g(-1.16) ≈ -0.8
f(4.32) ≈ 28.6
g(4.32) ≈ 28.6
Мы видим, что оба решения удовлетворяют уравнению.
Надеюсь, это помогло вам разобраться в задаче. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад ответить на них
Answers & Comments
Для того, чтобы найти функцию, обратную данной g(x), нужно выполнить следующие шаги:
Поменять местами x и y в формуле g(x) и получить x = g(y).
Решить полученное уравнение относительно y и получить y = h(x), где h(x) - это обратная функция для g(x).
Проверить, что h(g(x)) = x и g(h(x)) = x для любого x из области определения g(x).
Применим эти шаги к вашему примеру. Пусть g(x) = 2x^2 - 3.
Поменяем местами x и y и получим x = 2y^2 - 3.
Решим уравнение относительно y и получим y = ±√((x + 3)/2). Здесь мы используем знак ±, потому что квадратный корень может быть положительным или отрицательным. Это означает, что у нас есть две обратные функции: h_1(x) = √((x + 3)/2) и h_2(x) = -√((x + 3)/2).
Проверим, что h_1(g(x)) = x и g(h_1(x)) = x для любого x из области определения g(x). Аналогично, проверим, что h_2(g(x)) = x и g(h_2(x)) = x для любого x из области определения g(x).
h_1(g(x)) = h_1(2x^2 - 3) = √((2x^2 - 3 + 3)/2) = √(x^2) = |x|.
g(h_1(x)) = g(√((x + 3)/2)) = 2(√((x + 3)/2))^2 - 3 = x + 3 - 3 = x.
h_2(g(x)) = h_2(2x^2 - 3) = -√((2x^2 - 3 + 3)/2) = -√(x^2) = -|x|.
g(h_2(x)) = g(-√((x + 3)/2)) = 2(-√((x + 3)/2))^2 - 3 = x + 3 - 3 = x.
Мы видим, что обе функции h_1(x) и h_2(x) являются обратными к g(x), но они определены на разных множествах. Функция h_1(x) определена только для неотрицательных значений x, а функция h_2(x) определена только для не положительных значений x. Это связано с тем, что функция g(x) не является инъективной, то есть она не проходит тест горизонтальной прямой1. Для того, чтобы получить единственную обратную функцию, нужно ограничить область определения или область значений функции g(x).
Для решения уравнения f(x) = g(x), где f(x) = 5x + 7, нужно приравнять правые части функций и решить относительно x:
5x + 7 = 2x^2 - 3
Перенесем все члены в одну сторону и приведем к стандартному виду:
2x^2 - 5x - 10 = 0
Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней2:
x = (5 ± √(25 + 80))/4
x ≈ -1.16 или x ≈ 4.32
Это два решения уравнения f(x) = g(x). Мы можем проверить их подстановкой в исходные функции:
f(-1.16) ≈ -0.8
g(-1.16) ≈ -0.8
f(4.32) ≈ 28.6
g(4.32) ≈ 28.6
Мы видим, что оба решения удовлетворяют уравнению.
Надеюсь, это помогло вам разобраться в задаче. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад ответить на них