Ответ:

Построен ход лучей.

Длина изображения равна 0,25 м.

Объяснение:

На высоте h=0,15 м от главной оптической оси тонкой собирающей линзы был установлен в горизонтальном положении карандаш длиной l=0,1 м. Изобразить ход лучей и определите длину изображения, которое даст собирающая линза, если левый край карандаша находится на расстоянии a=0,4 м от линзы. Фокусное расстояние линзы равно 0,2 м.

Дано: собирающая линза;
h = 0,15 м;
l = 0,1 м;
a = 0,4 м;
F = 0,2 м.

Найти:
I. Построить ход лучей.
II. Определить длину изображения, которое дает линза.

Решение.

I. Построим ход лучей. (Рисунок прилагается).

Для построения точки достаточно построить два луча, ход которых известен.

• Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе, пересекает оптическую ось в точке ее фокуса.
• Луч, проходящий через центр линзы, не меняет своего направления.
  На пересечении этих двух лучей получим изображение заданной точки.

1) Проведем из точки A луч, параллельный оптической оси линзы, после преломления в точке O' луч изменит свое направление и пройдет через точку второго фокуса линзы - т.F.

2) Из точки A проведем луч AO до пересечения с преломленным лучом O'F, поставим точку A' (красная линия).

Мы получили изображение точки A - точку A'.

Так как точка A находится на двойном фокусном расстоянии от линзы, то ее изображение A' также находится на на двойном фокусном расстоянии от линзы.

Расстояние от точки A' до главной оптической оси равно расстоянию от точки A до главной оптической оси и равно h = 0,15 м.(Это следует из равенства треугольников ΔA(2F)O = ΔA'(2F)O по второму признаку равенства треугольников).

3) Аналогично построим изображение точки B. Луч BO пересекает преломленный луч O'F в точке B' (зеленая линия).

Точка B' является изображением точки B.

Отрезок A'B' - это изображение карандаша AB, которое дает собирающая линза.

II. Определим длину изображения A'B', которое дает линза.

1) Длина отрезка A'B' - это длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике A'MB'.
По теореме Пифагора:
[tex]\displaystyle A^{'}B^{'} = \sqrt{A^{'}M^{2}+B^{'}M^{2}} =\sqrt{(OC -2F)^{2}+(B^{'}C-h)^{2}}[/tex].

2) Найдем расстояние OC из формулы линзы.

• Формула линзы: расстояние от собирающей линзы до изображения (f) связано с расстоянием от линзы до предмета (d) и фокусным расстоянием (F) следующей зависимостью
  [tex]\displaystyle \frac{1}{F} =\frac{1}{f}+\frac{1}{d}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{F} =\frac{1}{OC}+\frac{1}{2F-l};\\\\\\\frac{1}{F} =\frac{(2F-l)+OC}{OC(2F-l)} ;\\\\\\OC(2F-l)=F(2F-l) +F\cdot OC;\\\\OC(2F-l)-F\cdot OC = F(2F-l);[/tex]

[tex]\displaystyle OC(2F-l-F) = F(2F-l);\\\\OC(F-l)= F(2F-l);\\\\\\OC = \frac{F(2F-l)}{F-l} ;[/tex]

Подставим данные.

[tex]\displaystyle OC = \frac{0,2(0,4-0,1)}{0,2-0,1} =\frac{0,2 \cdot 0,3}{0,1} =0,6[/tex]

OC = 0,6 м.

3) Найдем B'C.

ΔBNO подобен ΔB'CO по двум углам (в них есть прямые и вертикальные углы).

[tex]\displaystyle \frac{B'C}{BN} =\frac{OC}{ON} ;\\\\\\\frac{B'C}{h} =\frac{OC}{2F-l} ;\\\\\\B'C = \frac{h \cdot CO}{2F-l} .[/tex]

Подставим данные.

[tex]\displaystyle B'C = \frac{0,15 \cdot 0,6}{0,4-0,1} =\frac{0,15 \cdot 0,6}{0,3}= 0,15 \cdot2 = 0,3[/tex]

B'C = 0,3 м.

4) Найдем длину изображения A'B'.

[tex]\displaystyle A^{'}B^{'} = \sqrt{(OC -2F)^{2}+(B^{'}C-h)^{2}}=\\\\=\sqrt{(0,6-0,4)^{2}+(0,3-0,15)^{2}} =\\\\=\sqrt{0,2^{2}+0,15^{2}} =\sqrt{0,04+0,0225}=\\\\=\sqrt{0,0625} =0,25[/tex]

Длина изображения A'B' равна 0,25 м.