график функции y=|x²+3x+2| представляет собой график функции график функции y=x²+3x+2, у которого часть параболы с отрицательными значениями "у" перевёрнуты в положительную часть графика.

Поэтому наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, с параллельной оси абсцисс, это 4.

Точки на оси Ох находим, приравняв функцию нулю:

x²+3x+2 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D=3^2-4*1*2=9-4*2=9-8=1;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁=(√1-3)/(2*1)=(1-3)/2=-2/2=-1; x₂=(-√1-3)/(2*1)=(-1-3)/2=-4/2=-2.

График дан в приложении.

На уровне знаний 9 класса дается построение графика квадратичной функции с помощью выделения квадрата из квадратного трехчлена.

у = х² - 3х + 2 = (х² - 2*3/2*х + 9/4) - 9/4 + 2 = (х - 3/2)² - 1/4

Теперь исследуем полученную функцию чтобы построить ее график

1. у = а(х - m)² + n - стандартный вид              

В нашем примере а=1 > 0, значит ветви параболы направлены вверх.

m = 1.5 - значит вершина параболы сдвинута вправо на 1,5 ед.

n = -0,25, значит вершина параболы сдвинута вниз на 0,25 ед.

Вычислим координаты нескольких точек параболы

При х = 0  у = 2, при х = 0  у = 0, при х = 1  у = 0, при х = 3 у = 2

и построим график. Смотри на фото.

Ответы на вопросы:

а) у < 0 при    1  < х < 2

б) у возрастает при  х > 1.5