Help me think about this.. Created by jasmineprincess669. matematika-ru

Так как область интегрирования - прямоугольник, то двойной интеграл можно сразу представлять в виде повторного, причем внутренний интеграл удобнее брать по dx:Выполним подведение под знак дифференциала:Вычисляем табличный интеграл от экспоненты:Выполняем двойную подстановку:Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:Для первого интеграла выполним подведение под знак дифференциала:Вычисляем два табличных интеграла:Выполняем двойные подстановки:Ответ: 3

Help me think about this...

jasmineprincess669 @jasmineprincess669

December 2021 1 7 Report

Help me think about this.

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

$\iint\limits_D {ye^{\frac{xy}{2} }} dxdy,\ D:\ y=\ln2;\ y=\ln3;\ x=2;\ x=4$

Так как область интегрирования - прямоугольник, то двойной интеграл можно сразу представлять в виде повторного, причем внутренний интеграл удобнее брать по dx:

$\iint\limits_D ye^{\frac{xy}{2}} dxdy=\int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(\int\limits_2^4 ye^{\frac{xy}{2}}dx\right)dy\ \boxed{=}$

Выполним подведение под знак дифференциала:

$\boxed{=}\ \int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(y\cdot\dfrac{2}{y} \cdot\int\limits_2^4 e^{\frac{xy}{2}}d\left(x\cdot\dfrac{y}{2}\right) \right)dy=2\cdot\int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(\int\limits_2^4 e^{\frac{xy}{2}}d\dfrac{xy}{2} \right)dy\ \boxed{=}$

Вычисляем табличный интеграл от экспоненты:

$\boxed{=}\ 2\cdot\int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(\left e^{\frac{xy}{2}}\right|_2^4\right)dy\ \boxed{=}$

Выполняем двойную подстановку:

$\boxed{=}\ 2\cdot\int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(e^{\frac{4y}{2}}-e^{\frac{2y}{2}}\right)dy=2\cdot\int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(e^{2y}-e^{y}\right)dy\ \boxed{=}$