Задание 1

log₅(3x + 1) ≥ log₅(2x - 1)

Так как основание логарифма (5) больше нуля, то знак неравенства остаётся прежним. Составим систему ОДЗ:

3x + 1 > 0

3x > -1

x > -¹/₃

2x - 1 > 0

2x > 1

x > ¹/₂

Пересечение ОДЗ: x ∈ (0.5; +∞)

Раскроем логарифмы:

3x + 1 ≥ 2x - 1

x ≥ -2

x ∈ [-2; +∞)

Пересечение решения и ОДЗ: x ∈ (0.5; +∞)

Ответ

x ∈ (0.5; +∞)

Задание 2

По свойству степеней мы можем представить ¹/₅ как 5⁻¹. А по свойству логарифмов мы выносим степень основания как 1/k. Преобразуем и вынесем степень за логарифм:

-log₅(5 - 2x) ≥ -log₅(2 - x)

Домножим обе части неравенства на -1 (знак при этом изменится на противоположный):

log₅(5 - 2x) ≤ log₅(2 - x)

Составим систему ОДЗ:

5 - 2x > 0

2x < 5

x < ⁵/₂

2 - x > 0

x < 2

Пересечение ОДЗ: x ∈ (-∞; 2)

Раскроем логарифмы:

5 - 2x ≤ 2 - x

3 ≤ x

x ≥ 3

Пересечение ОДЗ и уравнения: x ∈ ∅

Ответ

x ∈ ∅

Задание 3

0.25 в основании логарифма мы можем представить как ¹/₄, а по свойству степеней как 4⁻¹. По свойству логарифмов мы можем вынести степень как 1/k. Преобразуем:

-log₄(5x - 3) > - 1

Домножим обе части неравенства на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный):

log₄(5x - 3) < 1

По свойству логарифмов 1 = logₙn. Преобразуем:

log₄(5x - 3) < log₄4

Составим систему ОДЗ:

5x - 3 > 0

5x > 3

x > ³/₅

x ∈ (³/₅; +∞)

Так как основание логарифма (4) больше нуля, то зак неравенства не изменяется. Раскроем логарифмы:

5x - 3 < 4

5x < 7

x < ⁷/₃

Пересечение ОДЗ и уравнения: x ∈ (³/₅; ⁷/₃)

Ответ

x ∈ (³/₅; ⁷/₃)