Ответ:

Объем: V = 20,25 см³

Площадь полной поверхности: S = (45 + 4,5√3) см²

Объяснение:

A₁C - диагональ призмы. А₁С = 6 см.

АС - проекция А₁С  на плоскость основания, значит ∠А₁СА = 60° - угол между диагональю и плоскостью основания.

ΔА₁СА:  ∠А₁АС = 90°,

 [tex]\sin\angle A_1CA=\dfrac{AA_1}{A_1C}[/tex]

 [tex]AA_1 = A_1C \cdot\sin\angle A_1CA = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}[/tex]

АА₁ = 3√3 см

 [tex]\cos\angle A_1CA=\dfrac{AC}{A_1C}[/tex]

 [tex]AC=A_1C \cdot\cos\angle A_1CA = 6 \cdot \dfrac{1}{2}=3[/tex]

AC = 3 см

Найдем стороны трапеции ABCD.

• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°, а углы при одном основании равнобедренной трапеции равны.

∠D = ∠B = 120°

∠C = 180° - ∠D = 180° - 120° = 60°

ΔACD:  ∠ACD = 90°

[tex]tg\angle ADC=\dfrac{AC}{CD}[/tex]

[tex]CD=\dfrac{AC}{tg\; 60^\circ}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}[/tex]

CD = АВ = √3 см

[tex]\sin\angle ADC=\dfrac{AC}{AD}[/tex]

[tex]AD=\dfrac{AC}{\sin\; 60^\circ}=\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}[/tex]

AD = 2√3 см

Проведем ВН и СК - высоты трапеции. В равнобедренной трапеции они отсекают равные треугольники АВН и KCD.

ΔKCD:  ∠CKD = 90°

[tex]CK=CD\cdot \sin 60^\circ=\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=1,5[/tex]

СК = 1,5 см

[tex]KD=CD\cdot \cos 60^\circ =\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

АН = KD = √3/2 см

[tex]HK = AD - (AH + KD) = AD - 2KD = 2\sqrt{3}-2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}[/tex]

HBCK - прямоугольник, так как все углы прямые, значит

ВС = НК = √3 см

• Объем прямой призмы равен произведению площади основания на боковое ребро.

[tex]V = S_{ABCD}\cdot AA_1[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot CK=\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}\cdot 1,5=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}[/tex]  см²

[tex]V=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 3\sqrt{3}=\dfrac{81}{4}=20,25[/tex]

V = 20,25 см³

• Площадь полной поверхности призмы (S) равна сумме площади боковой поверхности (S₁)  и двух площадей основания ([tex]S_{ABCD}[/tex]).

Площадь боковой поверхности:

[tex]S_1=P_{ABCD}\cdot AA_1=(AD + BC + 2CD)\cdot AA_1[/tex]

[tex]S_1=(2\sqrt{3}+\sqrt{3}+2\sqrt{3})\cdot 3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=45[/tex]  см²

[tex]S = S_1+2S_{ABCD}=45 +2\cdot\dfrac{9\sqrt{3}}{4}=45+4,5\sqrt{3}[/tex]

Площадь полной поверхности:

S = (45 + 4,5√3) см²