Трое любителей спортивного программирования Никита, Влад и Кирилл готовятся к новому сезону ICPC* и усердно тренируются. Ребята решили заниматься три дня и каждый день решать задачи на разные темы. В первый день они решают задачи на Графы (Г), во второй – на Структуры данных (СД), а в третий – на Теорию чисел (ТЧ). Каждый из ребят уже хорош в каких-то двух темах и только начинает осваивать третью. Поэтому, пока один из спортсменов только учится решать задачи из плохо освоенной для себя темы, остальные решают их в значительно больших количествах.
Статистика по всем задачам показала, что:
1.пока Никита учится решать одну задачу из Г, Влад и Кирилл решают суммарно 5 задач из Г;
2.пока Влад учится решать одну задачу из СД, Никита и Кирилл решают суммарно 7 задач из СД;
3.пока Кирилл учится решать одну задачу из ТЧ, Никита и Влад решают суммарно 6 задач из ТЧ.
А статистика по освоению новых тем выявила, что:
Никита научился решать на 2 задачи меньше, чем Влад и Кирилл вместе взятые;
Влад научился решать на 6 задач меньше, чем Никита и Кирилл вместе взятые;
Кирилл научился решать на 4 задачи меньше, чем Никита и Влад вместе взятые.
Помогите ребятам посчитать суммарное количество выученных и решенных ими задач.
Статистика по всем задачам показала, что:
1.пока Никита учится решать одну задачу из Г, Влад и Кирилл решают суммарно 5 задач из Г;
2.пока Влад учится решать одну задачу из СД, Никита и Кирилл решают суммарно 7 задач из СД;
3.пока Кирилл учится решать одну задачу из ТЧ, Никита и Влад решают суммарно 6 задач из ТЧ.
А статистика по освоению новых тем выявила, что:
Никита научился решать на 2 задачи меньше, чем Влад и Кирилл вместе взятые;
Влад научился решать на 6 задач меньше, чем Никита и Кирилл вместе взятые;
Кирилл научился решать на 4 задачи меньше, чем Никита и Влад вместе взятые.
Помогите ребятам посчитать суммарное количество выученных и решенных ими задач.
Answers & Comments
Обозначим количество задач, которые каждый из ребят решил в каждой из тем как $n_{G, N}, n_{G, V}, n_{G, K}$ для графов, $n_{SD, N}, n_{SD, V}, n_{SD, K}$ для структур данных и $n_{NT, N}, n_{NT, V}, n_{NT, K}$ для теории чисел.
Также обозначим количество задач, которые каждый из ребят выучил в плохо освоенной теме как $m_N$ для Никиты, $m_V$ для Влада и $m_K$ для Кирилла.
Из условий задачи известны следующие равенства и неравенства:
$n_{G, V} + n_{G, K} = 5 + n_{G, N}$;
$n_{SD, N} + n_{SD, K} = 7 + n_{SD, V}$;
$n_{NT, N} + n_{NT, V} = 6 + n_{NT, K}$;
$m_N = n_{G, N} + n_{SD, N} + n_{NT, N} - 2 \cdot (n_{G, V} + n_{G, K})$;
$m_V = n_{G, V} + n_{SD, V} + n_{NT, V} - 6 - m_N - n_{SD, K}$;
$m_K = n_{G, K} + n_{SD, K} + n_{NT, K} - 4 - m_N - n_{NT, V}$.
Решим систему уравнений и неравенств:
\begin{aligned} n_{G, V} + n_{G, K} &= 5 + n_{G, N} \ n_{SD, N} + n_{SD, K} &= 7 + n_{SD, V} \ n_{NT, N} + n_{NT, V} &= 6 + n_{NT, K} \ m_N &= n_{G, N} + n_{SD, N} + n_{NT, N} - 2 \cdot (n_{G, V} + n_{G, K}) \ m_V &= n_{G, V} + n_{SD, V} + n_{NT, V} - 6 - m_N - n_{SD, K} \ m_K &= n_{G, K} + n_{SD, K} + n_{NT, K} - 4 - m_N - n_{NT, V} \end{aligned}
Никита решает одну задачу из Г, Влад и Кирилл решают суммарно 5 задач из Г:
Влад учится решать одну задачу из СД, Никита и Кирилл решают суммарно 7 задач из СД:
Кирилл учится решать одну задачу из ТЧ, Никита и Влад решают суммарно 6 задач из ТЧ:
Общее количество решенных задач по теме ТЧ: 1 + 6 = 7
Также из условия известно, что:
Обозначим количество решенных задач Никитой, Владом и Кириллом соответственно через $n$, $v$ и $k$, а количество задач, которые они выучили, через $x$, $y$ и $z$ соответственно.
Из условия $n < v+k$ и $v < n+k$ следует, что $n$, $v$ и $k$ являются числами вида $a$, $a+2$ и $a+4$ для некоторого целого числа $a$. Также из условия следует, что $n+v+k=x+y+z$.
Подставим $n=a$, $v=a+2$ и $k=a+4$ в выражения для числа выученных задач и получим:
$x = y + z + (a+2)$
$y = x + z + (a+6)$
$z = x + y + (a+4)$