Ответ:

1. to travel

инфинитив с to ставится после wanted

2. stay

после had to/have to/has to ставится инвинитив без to

3. to apply

после decide ставится инфинитив с to

4. go

после модальных глаголов (в данном случае could) ставится инфинитив без to

5. to work

после прилагательного с too (в данном случае too busy) ставится инфинитив с to

6. orbiting

герундий, так как в значении существительного (Он провел 10 дней на орбите)

7. looking

после слов эмоциональной оценки (в данном случае enjoy) ставится герундий

8. to go back

после would like ставится инфинитив с to

9. helping

после устойчивого выражения look forward to ставится герундий

10. trying

в значении существительного ставится герундий