*Ответ: int(√(-2x^2-12x+9)*dx)=

=27*√2*arcsin(√(2/27) *(x+3) )/4 +(x+3)*√(27-2*(x+3)^2)/2 +c

Объяснение:

Преобразуем  функцию под радикалом:

-2x^2-12x+9=-2*(x^2+6x+9)+27=-2*(x+3)^2+27=27-2*(x+3)^2

√(27-2*(x+3)^2)=√27*√(1-2/27*(x+3)^2)

тк  0<2/27*(x+3)^2<1 (cогласно ОДЗ)

Можно сделать замену: √(2/27) *(x+3)=sin(t)

√(2/27)*dx=cos(t)*dt

dx=√(27/2) *cos(t)*dt

√27*int( √(1-sin^2(t) )*√(27/2) *cos(t)*dt)=27/√2*int( cos^2(t)*dt)=

= 27/2√2* int( (1+cos(2t))*dt)= 27/2√2* ( t+ sin(2t)/2)+c)

t=arcsin(√(2/27) *(x+3) )

sin(2t)/2=sin(t)*cos(t)=sin(t)*√(1-sin^2(t))=√(2/27) *(x+3)√(1-2/27*(x+3)^2)

Таким образом:

int(√(-2x^2-12x+9)*dx)=

=27*√2*arcsin(√(2/27) *(x+3) )/4  +√27 *(x+3)*√(1-2/27*(x+3)^2)/2 +c = 27*√2*arcsin(√(2/27) *(x+3) )/4 +(x+3)*√(27-2*(x+3)^2)/2 +c