LechK
Честно говоря, трудно расписать какое-либо конкретное решение, когда имеются 4 переменных. Поэтому чисто "анализ" задачи, но с ответом.
Сумма квадратов косинусов 4 переменных равна 1.
Предположим, что 2 переменные будут равны ,
тогда
Мы знаем, что
Сделаем другое предположение.
Увеличим величину z на любое число между 0 и π/4, и уменьшим число t на такое же число.
Значение суммы квадратов косинусов не изменилось, но сумма котангенсов начала увеличиваться. Можно сделать вывод, что сумма котангенсов имеет наименьшее значение при π/4. Это легко проверить.
Представим прямоугольный треугольник. Котангенс острого угла - отношение прилежащего катета к противолежащему. Тангенс - отношение противолеж. к прилежащему. ctg π/4 = tg π/4 = 1.
Минимальная сумма ctg и tg - равна 2.
ctg α = 1 : tg α
Допустим, что ctg α = 4, тогда tg α = 1/4=0,25 , tg α + ctg α = 4;
уменьшим в 2 раза значение ctg α;
ctg α=2, tg α=1/2=0,5 , tg α + ctg α = 2,5
Продолжая уменьшение в 2 раза мы придём сначала к единице, а после, уменьшая значение tg или ctg, т.е. делая его не равным 1, мы увидим суммы, которые стремятся к бесконечности.
Итак, у нас есть 2 значения, равных нулю и 2 равных единице. Получаем результат, 2.
2 - это минимальная сумма.
Более ясного и правильного обоснования ответа дать не могу.
(*)Рассмотрим сумму четырех чисел: ; Пусть их сумма фиксирована и равна S. Тогда минимальная сумма им обратных чисел равна 4/S; Вернемся к задаче. . Получаем: . Принимая во внимание все то, что было сказано в (*), получаем, что по крайней мере два из четырех слагаемых в нашей сумме должны быть максимальны. Пусть тогда ; Если бы и sin z равнялся бы 1, то sin t =0 и котангенс не определен. Значит нужно найти максимальное значение двух последних слагаемых, учитывая, что . Их максимальное значение равно 1/2 = 0,5; В итоге получаем значения котангенсов: 0; 0; 0,5; 0,5. Их сумма равна 2.
=============
Согласно (*), можно было бы сказать, что минимальная сумма равна 4. Но примечание было рассчитано на числа, для которых не существует понятия максимум.
=============
Другой способ:
Котангенс - это отношение косинуса к синусу. Поэтому его минимум достигается при минимуме косинуса и максимуме синуса. Согласно (*) максимальное значение косинуса 1/2. Минимум синуса - 0 (не "связанного" со значением косинуса 1/2) В итоге получаем 4*0,5 = 2. Ясно, что мы нашли отдельно значение синуса и косинуса, хотя они связаны тригонометрическим тождеством. Тем не менее, довольно просто доказать, что "связка" синуса и косинуса происходит обычным распределением значений. Поэтому достаточно привести пример, в доказательство того, что минимум равен 2:
Answers & Comments
Сумма квадратов косинусов 4 переменных равна 1.
Предположим, что 2 переменные будут равны
тогда
Мы знаем, что
Сделаем другое предположение.
Увеличим величину z на любое число между 0 и π/4, и уменьшим число t на такое же число.
Значение суммы квадратов косинусов не изменилось, но сумма котангенсов начала увеличиваться. Можно сделать вывод, что сумма котангенсов имеет наименьшее значение при π/4. Это легко проверить.
Представим прямоугольный треугольник. Котангенс острого угла - отношение прилежащего катета к противолежащему. Тангенс - отношение противолеж. к прилежащему. ctg π/4 = tg π/4 = 1.
Минимальная сумма ctg и tg - равна 2.
ctg α = 1 : tg α
Допустим, что ctg α = 4, тогда tg α = 1/4=0,25 , tg α + ctg α = 4;
уменьшим в 2 раза значение ctg α;
ctg α=2, tg α=1/2=0,5 , tg α + ctg α = 2,5
Продолжая уменьшение в 2 раза мы придём сначала к единице, а после, уменьшая значение tg или ctg, т.е. делая его не равным 1, мы увидим суммы, которые стремятся к бесконечности.
Итак, у нас есть 2 значения, равных нулю и 2 равных единице. Получаем результат, 2.
2 - это минимальная сумма.
Более ясного и правильного обоснования ответа дать не могу.
(*)Рассмотрим сумму четырех чисел:
; Пусть их сумма фиксирована и равна S. Тогда минимальная сумма им обратных чисел равна 4/S; Вернемся к задаче. 
. Получаем: 
. Принимая во внимание все то, что было сказано в (*), получаем, что по крайней мере два из четырех слагаемых в нашей сумме должны быть максимальны. Пусть тогда 
; Если бы и sin z равнялся бы 1, то sin t =0 и котангенс не определен. Значит нужно найти максимальное значение двух последних слагаемых, учитывая, что 
. Их максимальное значение равно 1/2 = 0,5; В итоге получаем значения котангенсов: 0; 0; 0,5; 0,5. Их сумма равна 2.
=============
Согласно (*), можно было бы сказать, что минимальная сумма равна 4. Но примечание было рассчитано на числа, для которых не существует понятия максимум.
=============
Другой способ:
Котангенс - это отношение косинуса к синусу. Поэтому его минимум достигается при минимуме косинуса и максимуме синуса. Согласно (*) максимальное значение косинуса 1/2. Минимум синуса - 0 (не "связанного" со значением косинуса 1/2) В итоге получаем 4*0,5 = 2. Ясно, что мы нашли отдельно значение синуса и косинуса, хотя они связаны тригонометрическим тождеством. Тем не менее, довольно просто доказать, что "связка" синуса и косинуса происходит обычным распределением значений. Поэтому достаточно привести пример, в доказательство того, что минимум равен 2: