mathgenius
Преобразуем уравнение так: sqrt(x-1)+sqrt(x+3) +(x+3)+(x-1)+2*sqrt((x+3)(x-1))=6 Откуда очевиден полный квадрат: (sqrt(x-1)+sqrt(x+3))+(sqrt(x+3)+sqrt(x-1))^2=6 Сделаем замену: sqrt(x-1)+sqrt(x+3)=t>0 (сумма радикалов не бывает отрицательной) t^2+t-6=0 по теореме виета : t1=2 t2=-3 ( не подх) тогда sqrt(x-1)+sqrt(x+3)=2 Это уравнение удобно свести к системе: sqrt(x-1)=a sqrt(x+3)=b Откуда очевидно что : a+b=2 b^2-a^2=(b-a)(a+b)=4 Откуда b-a=4/2=2 Складывая с первым получим: 2b=4 b=2 sqrt(x+3)=2 x+3=4 x=1 Тк мы не учли ОДЗ ,то следует сделать проверку: sqrt(0)+sqrt(4)+2*sqrt(0*4)=4-2 2=2 то есть верно. Ответ:x=1
Answers & Comments
sqrt(x-1)+sqrt(x+3) +(x+3)+(x-1)+2*sqrt((x+3)(x-1))=6
Откуда очевиден полный квадрат:
(sqrt(x-1)+sqrt(x+3))+(sqrt(x+3)+sqrt(x-1))^2=6
Сделаем замену: sqrt(x-1)+sqrt(x+3)=t>0 (сумма радикалов не бывает отрицательной)
t^2+t-6=0
по теореме виета :
t1=2
t2=-3 ( не подх)
тогда
sqrt(x-1)+sqrt(x+3)=2
Это уравнение удобно свести к системе:
sqrt(x-1)=a
sqrt(x+3)=b
Откуда очевидно что :
a+b=2
b^2-a^2=(b-a)(a+b)=4
Откуда b-a=4/2=2
Складывая с первым получим:
2b=4
b=2
sqrt(x+3)=2
x+3=4
x=1
Тк мы не учли ОДЗ ,то следует сделать проверку:
sqrt(0)+sqrt(4)+2*sqrt(0*4)=4-2
2=2 то есть верно.
Ответ:x=1