Исходя из определения предела последовательности докажите, что при n стрелочка б...

July 2022 1 8 Report

Исходя из определения предела последовательности докажите, что при n стрелочка бесконечность.
Пример на фото.

Answers & Comments

Newtion

Verified answer

Следуя определению предела последовательности:
$\displaystyle a= \lim _{n\rightarrow +\infty} x_n$

Если:
$\forall \epsilon , \exists N \in \mathbb N | \forall n \ \textgreater \ N \Rightarrow |x_n-a|\ \textgreater \ \epsilon$

На понятном языке это так: Число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности $\forall \epsilon$ существует натуральный номер $\exists N\in \mathbb N$ - такой, что все члены последовательности с большими номерами $\forall n \ \textgreater \ N$ окажутся внутри окрестности $|x_n-a| \ \textgreater \ \epsilon$

Имеем предел:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n} =1$

Требуется доказать что он равен 1.
Доказательство:

Если $n\ \textgreater \ N$ то $|\frac{n+2}{n} -1|\ \textless \ \epsilon \Rightarrow | \frac{n-n+2}{n} |\ \textless \ \epsilon \Rightarrow | \frac{2}{n} | \ \textless \ \epsilon$

Так как само $n$ натурально, то мы имеем право раскрыть данный модуль:
$\frac{2}{n} \ \textless \ \epsilon \Rightarrow n\ \textgreater \ \frac{2}{\epsilon}$

Следовательно, отсюда имеем следующее:
Если $n \ \textgreater \ N$ то $n \ \textgreater \ \frac{2}{\epsilon}$

Так как в:
$n \ \textgreater \ \frac{2}{\epsilon}$ дробное число, нам следует брать только его целую часть:
$n\ \textgreater \ [\frac{2}{\epsilon}]$

Имеем:
$N=[ \frac{2}{\epsilon}]$

Вывод:
Для любой сколько угодно малой окрестности $\epsilon$ точки $a=1$ , нашлось значение $N=[ \frac{2}{\epsilon}]$ , такое , что для любых больших номеров $n\ \textgreater \ N$ выполняется неравенство $| \frac{n+2}{n} -1|\ \textless \ \epsilon$

Таким образом, число a является пределом последовательности по определению. Ч.Т.Д.

7 votes Thanks 6

Answers & Comments

Verified answer

vychislite predel funkcii lim6x 2x3x x5 x1

zadaniya na kartinke zaranee spasiboe84a0640dc859a1debb67d0524c750d0 73346

zadanie na kartinke89245a1da1e3363c5bd4702a317ab0a8 35747

v pravilnoj treugolnoj prizme storona osnovaniya 12 sm vysota 17sm najti plosh

553 najdite vysotu konusa esli ploshad ego osevogo secheniya ravna 6 dm2 a plosh

najdite predel funkcii primer na foto

najti matematicheskoe ozhidanie sluchajnoj velichiny y5x9 esli mx55

Z2...

reshite pokazatelnye uravneniya5492c02c379588562052d7cdb13d4b44 91811

reshite pokazatelnye neravenstva pliz

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social