Первая производная отрицательная - функция убывает во всем интервале существования..

ДАНО: y(x) = x/(x-1)

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения функции.

Не допускается деление на 0 в знаменателе.

х - 1 ≠ 0.

D(y) - X∈ (-∞;1)∪(1;+∞) -  

2. Вертикальная асимптота - разрыв - при Х = 1.  

3. Пересечение с осями координат.

С осью ОХ: Y=0 при Х = 0 - нуль функции.

С осью ОУ: y(0) = 0.

4. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: y(x)<0: X∈(0;1).

Положительна: y(x)≥0: X∈(-∞;0]∪(1;+∞).

5. Проверка на чётность.

y(-x) = 2/(x+1) ≠ -у(х) ≠ у(х)  - функция общего вида.

6. Первая производная - поиск экстремумов.

y'(x) = -2*x/(x-1)² + 2/(x-1) = -2/(x-1)² = 0

Корней нет. Разрыв при Х = 1.

7. Локальные экстремумы в точке разрыва..  

Минимум: Ymin = y(→1-) = -∞.

Максимум: Ymax = y(→1+) = +∞

8. Интервалы монотонности.  

Убывает: X∈(-∞;1)∪[1;+∞).

9. Вторая производная - поиск точек перегиба.

y"(x) = - 4/(x-1)³ = 0

Корней нет

10. Поведение функции.

Выпуклая - "горка" - X∈(-∞;1).

Вогнутая - "ложка" - X∈(1;+∞)

11. Наклонная асимптота: y = k*x+b.

k = lim(∞) Y(x)/x = 2/(x²-x) =  0.

b = lim(∞)Y(x) - k*x = 2

Горизонтальная асимптота: y = 2.

12. Рисунок с графиками исследования - в приложении.