Verified answer

Дана функция f (x) = 6x^4 – 12x² - 11 .

1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R.

2. Функция f (x) = 6x^4 – 12x^2 - 11 непрерывна на всей области определения.

Область значений функции приведена в пункте 6.

3. Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:  

График пересекает ось Оу, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 6x^4 – 12x^2 - 11.

у =6* 0^4 – 12*0^2 - 11 = -11.

Результат: кривая пересекает ось Оу в точке (0; -11).

4. Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:  

График функции пересекает ось Ох при y=0, значит, нам надо решить уравнение:  

6x^4 – 12x^2 - 11 = 0.

Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с Ох.  

Делаем замену x^2 = t.

Получили: 6t^2 – 12t - 11 = 0.

D = 144 – 4*6*(-11) = 408

Имеем 2  корня: t1  = (12 + √408)/(2*6) = (6 + √102)/6 ≈ 2,68325  

t2 = (12 - √408)/(2*6) = (6 - √102)/6 ≈ -0,68325. Этот отрицательный корень отбрасываем.

Обратная замена: х = √t.

x1,2 = +-(√(6 + √102)/6)) ≈ +-1,63806.

5. Экстремумы функции:  

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:  

y' = (6x^4 – 12x^2 - 11)’ = 24x^3 - 24x = 24x(x^2 - 1) = 0.  

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:  

Из первого множителя имеем 1 корень: x = 0.

Приравняем нулю второй множитель:  

x2 - 1 = 0,   x2 = 1. Имеем 2  корня: х = 1 и x = -1.

Имеем 3 точки, в которых возможны экстремумы: x = 0, х = 1 и x = -1.

6. Интервалы возрастания и убывания функции.  

Имеем 4 интервала монотонности функции: (-∞; -1), (-1; 0),  (0; 1) и (1; +∞).

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

y' = -144 0 9 0 -9 0 144

 Минимумы функции в точках ( -1; -17) и ( 1; -17).

В точке х = 0, у = -11  максимум.

Возрастает на промежутках: (-1; 0) и (1; +∞).

Убывает на промежутках: (-∞; -1) и (0; 1).

Отсюда определилась область значений функции:

-  так как минимумы функции в точках х = +-1  равны у = -17,  

  то E(f) = [-17; +∞).

7. Точки перегибов графика функции:  

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:  

y''(6x^4 – 12x^2 - 11) = 72x^2 - 24 = 24(3x^2-1) = 0.

Множитель в скобках имеет 2 решения:

3x^2-1= 0,  x = +-√(1/3).

х1 = √(1/3),  х2  = -√(1/3).

Результат – точки перегиба: ((-√(1/3)); -14,3333) и ((√(1/3))); -14,3333).

Интервалы выпуклости, вогнутости:  

Имеем 3 интервала выпуклости, вогнутости:  

x ϵ (-∞; (-√(1/3))), ((-√(1/3)); (√(1/3)) и (√(1/3); +∞).

Находим знаки второй производной на полученных промежутках.

x = -1 -√(1/3) 0 √(1/3) 1

y'' = 48 0 -24 0 48

Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:  

Выпуклая на промежутке: ((-√(1/3)); √(1/3)).

Вогнутая на промежутках: (-∞;(-√(1/3))) U (√(1/3); +∞).

8. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: так как область определения функции - вся числовая ось, то нет вертикальной асимптоты.  

Горизонтальные асимптоты графика функции:  

Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:  

lim 6x4 – 12x2 - 11, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует

lim 6x4 – 12x2 - 11, x->-∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует

Наклонные асимптоты графика функции:  

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при  .

Находим коэффициент k:

 k=lim┬(n→∞)⁡〖(〖6x〗^4-〖12x〗^2-11)/x=∞.〗

Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

8. Четность и нечетность функции:  

Проверим функцию -  четна или нечетна с помощью соотношений:

f(-x) = f(x) и -f(x) = f(x). Итак, проверяем:  

f(-x)=〖6*(-x)〗^4-〖12(-x)〗^2-11=〖6x〗^4-〖12x〗^2-11=f(x).

3начит, функция  является чётной.

Таблица точек:

x y

-2.0 37

-1.8 13.1

-1.6 -2.4

-1.4 -11.5

-1.2 -15.8

-1.0 -17

-0.8 -16.2

-0.6 -14.5

-0.4 -12.8

-0.2 -11.5

0 -11

0.2 -11.5

0.4 -12.8

0.6 -14.5

0.8 -16.2

1.0 -17

1.2 -15.8

1.4 -11.5

1.6 -2.4

1.8 13.1

2.0 37.