Verified answer

Ответ:

Любое число от 100 до 109

Пошаговое объяснение:

Обратим внимание, что при вычитании из числа суммы его цифр получаем число, которое делится на 9.  

Пойдем с конца: покажем, что последнее число - эта цифра.

Пусть последнее число X и

,

здесь   - цифры числа X. По условию

или

После раскрытия скобку и упрощения получим:

Но все числа в скобке положительные и поэтому сумма равна 0 тогда и только тогда, когда

.

Тогда X ≡ x₀, то есть цифра!

Каждый раз рассматривается разность некоторого числа и с суммой его цифр. Покажем что все разности делятся на 9. Пусть разность Y получено в некотором шаге и

.

Рассмотрев разность как выше получим:

которое равносильно равенству

.

Отсюда очевидно, что последняя сумма и в силу этого разность делится на 9. Отсюда, и числа получаемые на каждом шаге  делятся на 9!

Так как из однозначных чисел делится на 9 только 9, то на 11-шаге рассматривается разность 9-9=0.  

Следующее число при вычитании суммы его цифр должно давать 9, такое число 18 (10-шаг). Следующие числа:

27 (9-шаг); 36 (8-шаг); 45 (7-шаг); 54 (6-шаг); 63 (5-шаг); 72 (4-шаг); 81 (3-шаг).

Число 81 можно получить из числа 90 (90-(9+0)=81) или 99 (99-(9+9)=81).

Но число 90 нельзя получить таким способом. Следовательно, следующее за числом 81 будет число 99 (2-шаг).

А число 99 можно получить из чисел от 100 до 109 (1-шаг: первое число).