Из точек М и K, лежащих в разных гранях двугранного угла величиной 60°, проведены перпендикуляры MМ1 и KK1 к его ребру длиной 3 см и 8 см соответственно. Найти длину отрезка МK, если М1K1 = корень из 15 см.
ДАЮ 100 БАЛЛОВ
ДАЮ 100 БАЛЛОВ
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
8 см
Объяснение:
Дан двугранный угол, величиной 60°.
ММ₁⊥М₁К₁, КК₁⊥М₁К₁
ММ₁ = 3 см, КК₁ = 8 см, М₁К₁ = √15 см
Достроим прямоугольник AM₁K₁K на сторонах М₁К₁ и КК₁.
AM₁⊥M₁K₁ и ММ₁⊥М₁К₁, значит
∠ММ₁А = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями.
АМ₁ = КК₁ = 8 см
ΔММ₁А: по теореме косинусов
AM² = MM₁² + AM₁² - 2·MM₁·AM₁·cos∠MM₁A
AM² = 3² + 8² - 2 · 3 · 8 · cos 60°
AM² = 9 + 64 - 2 · 24 · 0,5 = 73 - 24 = 49
AM = 7 см
АМ₁⊥АК как стороны прямоугольника,
Наклонная АМ проецируется на прямую АМ₁, значит
АМ⊥АК по теореме о трех перпендикулярах.
ΔМАК: ∠МАК = 90°, АК = М₁К₁ = √15 см
по теореме Пифагора:
МК = √(АМ² + АК²) = √(7² + (√15)²) = √(49 + 15) = √64 = 8 см