Из точки A, находящейся вне окружности с центром O, проведены две
касательные AB и AC (B и C — точки касания). Отрезок AO пересекается с
окружностью в точке D и с отрезком BC в точке F . Прямая BD пересекает отрезок AC в
точке E. Известно, что площадь четырёхугольника DECF равна площади треугольника
ABD. Найдите угол OCB.
касательные AB и AC (B и C — точки касания). Отрезок AO пересекается с
окружностью в точке D и с отрезком BC в точке F . Прямая BD пересекает отрезок AC в
точке E. Известно, что площадь четырёхугольника DECF равна площади треугольника
ABD. Найдите угол OCB.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Треугольники АВF и АСF равны (это прямоугольные треугольники, у которых равныгипотенузы АВ и АС (как касательные из одной точки к окружности) и общий катет АF. Значит Sabf=Sacf. Если Sdecf = Sabd, то Sfbd= Seda. Тогда Scbe=Sabe (из равных площадей вычитаем равные площади, значит оставшиеся площади равны).
В треугольнике АВС отрезок ВЕ, проведенный из вершины угла В к противоположной стороне, делит площадь этого треугольника пополам, так как Sabe и Sbec состоят из равновеликих частей (Sabd+Sade)=(Sbdf+Sdecf).
Следовательно, ВЕ - медиана треугольника АВС.
Рассмотрим <CВD и <АВЕ. Эти углы равны, так как <CВD вписанный, опирающийся на
дугу СD, а <ABD (<ABE) - угол, образованный касательной к окружности и секущей,
равен половине дуги ВD. Но дуги CD и BD равны (так как равны центральные углы ВОD
и СОD, опирающиеся на эти дуги), значит <CВЕ и <АВЕ равны.
Следовательно, ВЕ - биссектриса угла СВА.
Но если в треугольнике АВС биссектриса и медиана совпадают, значит этот треугольник равнобедренный и стороны СВ и ВА равны.
Но мы знаем, что ВА=АС, как касательные к окружности, проведенные из одной точки. Значит треугольник АВС равносторонний и <ВСА = 60°.
<OCA = 90° (радиус к касательной в точку касания), тогда
<OCB = <OCA-<BCA=90°-60° = 30°.
Ответ: угол ОСВ = 30°