Решение.

Формулы перехода к полярным координатам :

[tex]\bf x=\rho \, cos\varphi \ \ ,\ \ y=\rho \, sin\varphi \ \ ,\ \ x^2+y^2=\rho ^2\ \ ,\ \ dx\, dy=\rho\ d\rho \, d\varphi[/tex]    

Уравнение окружности   [tex]\bf x^2+y^2=2^2[/tex]   в полярных координатах имеет вид   [tex]\bf \rho =2[/tex]  .

[tex]\bf \displaystyle \iint\limits_{D}\, \sqrt{(x^2+y^2)^2}\, dx\, dy=\int\limits_0^{2\pi }\, d\varphi \int\limits_{0}^{2}\, \sqrt{\rho \, ^4}\cdot \rho \, d\rho =\int\limits_0^{2\pi }\, d\varphi \int\limits_{0}^{2}\, \rho \, ^5\, d\rho =\\\\\\=\int\limits_0^{2\pi }\, d\varphi \, \Big(\frac{\rho ^6}{6}\, \Big|_0^2\Big)=\int\limits_0^{2\pi }\, \frac{2^6-0^6}{6}\, d\varphi =\frac{32}{3}\int\limits_0^{2\pi }\, d\varphi =\frac{32}{3}\cdot \varphi \, \Big|_0^{2\pi }=\frac{32}{3}\cdot 2\pi =\frac{64\pi }{3}[/tex]