Варианты:

1.Однажды...

2.Недавно или давным-давно

3.На канун нового года

4.На новый год

5.Один раз на новый год.

6.Новый год-это зимний знаменитый праздник. И однажды в этот замечательный день....

Можно придумать много других вариантов)