Ответ:

a = b = 0; M(2, 0); |MN| = √2

Пошаговое объяснение:

{ a^2*x - y = 2a^2 - 2b

{ x - by = 2 - 2a^2

Точки: N(3; -1), M(x; y)

Прямая: y = 2 - x

Расстояние |MN| должно быть минимальным.

Расстояние между этими точками можно найти по формуле:

|MN| = √[(x-3)^2 + (y+1)^2] = √[(x-3)^2 + (2-x+1)^2] = √[(x-3)^2 + (3-x)^2]

|MN| = √[(x-3)^2 + (x-3)^2] = √[2(x-3)^2] = |x-3|*√2

Это расстояние должно быть минимальным.

Для этого x должно быть как можно ближе к 3.

Подставим в систему y = 2 - x и найдем возможные а и b.

{ a^2*x - (2 - x) = 2a^2 - 2b

{ x - b(2 - x) = 2 - 2a^2

Раскрываем скобки

{ a^2*x - 2 + x = 2a^2 - 2b

{ x - 2b + bx = 2 - 2a^2

Приводим подобные

{ x(a^2 + 1) = 2a^2 - 2b + 2

{ x(b + 1) = -2a^2 + 2b + 2

Выразим х в обоих уравнениях

{ x = (2a^2 - 2b + 2) / (a^2 + 1) = 2(a^2 + 1 - b) / (a^2 + 1)

{ x = (-2a^2 + 2b + 2) / (b + 1) = 2(b + 1 - a^2) / (b + 1)

Приравниваем правые части

2(a^2 + 1 - b) / (a^2 + 1) = 2(b + 1 - a^2) / (b + 1)

Делим всё на 2

(a^2 + 1 - b) / (a^2 + 1) = (b + 1 - a^2) / (b + 1)

Выделяем целую часть

1 - b / (a^2 + 1) = 1 - a^2 / (b + 1)

Вычитаем 1 и меняем знаки

b / (a^2 + 1) = a^2 / (b + 1)

По правилу пропорции

b(b + 1) = a^2*(a^2 + 1)

Замена a^2 = c

b(b + 1) = c(c + 1)

Очевидно, что b = c = a^2

x = 2(b + 1 - b) / (b + 1) = 2*1/(b + 1) = 2/(b + 1)

Минимальное a^2 = 0, тогда b = a^2 = 0, отсюда:

x = 2/(0+1) = 2, y = 2 - x = 2 - 2 = 0

Если будет b > 0, то будет x < 2, и значит, дальше от 3.

Нужная нам точка M(2, 0). При этом a = b = 0.

Минимальное расстояние

|MN| = |x-3|*√2 = |2-3|*√2 = √2