Отсюда координата тела тела x в любой момент времени t:
x – x0 = vxt
или
x = x0 + vxt.
Если начальная координата x0 = 0, то x = vxt.
Таким образом, координату тела при равномерном движении в любой момент времени можно определить, если известны его начальная координата и проекция скорости движения на ось X.
Проекции скорости и перемещения могут быть как положительными, так и отрицательными. Проекция скорости положительна, если направление движения совпадает с положительным направлением оси X (см. рис. 8, а). В этом случае x > x0. Проекция скорости отрицательна, если тело движется против положительного направления оси X (рис. 8, б). В этом случае x < x0.
4. Зависимость координаты тела от времени можно представить на графике.
Предположим, что тело движется из начала координат вдоль положительного направления оси X с постоянной скоростью. Проекция скорости тела на эту ось равна 2 м/с. Уравнение движения в этом случае имеет вид: x = 2t (м). Зависимость координаты тела от времени — линейная. Графиком такой зависимости является прямая, проходящая через начало координат (рис. 9).
Если в начальный момент времени координата тела x0 = 6 м, а проекция его скорости vx = 2 м/с, то уравнение движения имеет вид: x = 6 + 2t (м). Это тоже линейная зависимость координаты тела от времени, и ее графиком является прямая, проходящая через точку, для которой при t = 0 x = 6 м (рис. 10).
В том случае, если проекция скорости отрицательна, уравнение движения имеет вид: x = 6 – 2t (м). График зависимости координаты тела от времени представлен на рисунке 11.
Таким образом, движение тела может быть описано аналитически, т. е. с помощью уравнения движения, и графически, т. е. с помощью графика зависимости координаты тела от времени.
5. Пример решения задачи
При решении задач необходимо выполнять следующую последовательность действий.
1. Кратко записать условие задачи.
2. Проанализировать ситуацию, описанную в условии задачи:
— выяснить, можно ли принять движущиеся тела за материальные точки;
— сделатьрисунок, изобразив на нем векторы скорости;
— выбрать систему отсчета — тело отсчета, направления координатных осей, начало отсчета координат, начало отсчета времени; записать начальные условия (значения координат в начальный момент времени) для каждого тела.
3. Записать уравнение движения в векторной форме и для проекций на координатные оси.
4. Записать уравнение движения для каждого тела с учетом начальных условий и знаков проекций скорости.
5. Решить задачу в общем виде.
6. Подставить в формулу значения величин и выполнить вычисления.
7. Проанализировать ответ.
Два автомобиля движутся навстречу друг другу равномерно и прямолинейно: один — со скоростью 10 м/с, другой — со скоростью 20 м/с. Определите время и координату места встречи автомобилей, если в начальный момент времени расстояние между ними равно 120 м.
Дано:Решениеv1 = 10 м/сv2 = 20 м/сl = 120 мАвтомобили можно считать материальными точками, поскольку расстояние между ними много больше их размеров.t ?x ?
Задачу можно решить двумя способами: аналитически и графически.
1-й способ. Свяжем систему отсчета с Землей, ось OX направим в сторону движения первого автомобиля, за начало отсчета координаты выберем точку O — положение первого автомобиля в начальный момент времени (рис. 12).
В начальный момент времени координаты каждого тела равны: x01 = 0; x02 = l.
Запишем уравнение движения: x = x0 + vxt.
Уравнения движения для каждого тела с учетом начальных условий имеют вид:
x1 = v1t; x2 = l – v2t.
В момент встречи тел x1 = x2, следовательно: v1t = l – v2t.
Отсюда t = ;
t = = 4 с.
Подставив значение времени в уравнение для координаты первого автомобиля, получим значение координаты места встречи автомобилей: x = 10 •4 с = 40 м.
2-й способ. Построим графики зависимости координаты автомобилей от времени, соответствующие уравнениям x1 = 10t (м) и x2 = 120 – 20t (м) (рис. 13). Точка A пересечения графиков соответствует времени и координате места встречи автомобилей: t = 4 с, x = 40 м.
Answers & Comments
2
sx = vxt.
Отсюда координата тела тела x в любой момент времени t:
x – x0 = vxt
или
x = x0 + vxt.
Если начальная координата x0 = 0, то x = vxt.
Таким образом, координату тела при равномерном движении в любой момент времени можно определить, если известны его начальная координата и проекция скорости движения на ось X.
Проекции скорости и перемещения могут быть как положительными, так и отрицательными. Проекция скорости положительна, если направление движения совпадает с положительным направлением оси X (см. рис. 8, а). В этом случае x > x0. Проекция скорости отрицательна, если тело движется против положительного направления оси X (рис. 8, б). В этом случае x < x0.
4. Зависимость координаты тела от времени можно представить на графике.
Предположим, что тело движется из начала координат вдоль положительного направления оси X с постоянной скоростью. Проекция скорости тела на эту ось равна 2 м/с. Уравнение движения в этом случае имеет вид: x = 2t (м). Зависимость координаты тела от времени — линейная. Графиком такой зависимости является прямая, проходящая через начало координат (рис. 9).
Если в начальный момент времени координата тела x0 = 6 м, а проекция его скорости vx = 2 м/с, то уравнение движения имеет вид: x = 6 + 2t (м). Это тоже линейная зависимость координаты тела от времени, и ее графиком является прямая, проходящая через точку, для которой при t = 0 x = 6 м (рис. 10).
В том случае, если проекция скорости отрицательна, уравнение движения имеет вид: x = 6 – 2t (м). График зависимости координаты тела от времени представлен на рисунке 11.
Таким образом, движение тела может быть описано аналитически, т. е. с помощью уравнения движения, и графически, т. е. с помощью графика зависимости координаты тела от времени.
5. Пример решения задачи
При решении задач необходимо выполнять следующую последовательность действий.
1. Кратко записать условие задачи.
2. Проанализировать ситуацию, описанную в условии задачи:
— выяснить, можно ли принять движущиеся тела за материальные точки;
— сделатьрисунок, изобразив на нем векторы скорости;
— выбрать систему отсчета — тело отсчета, направления координатных осей, начало отсчета координат, начало отсчета времени; записать начальные условия (значения координат в начальный момент времени) для каждого тела.
3. Записать уравнение движения в векторной форме и для проекций на координатные оси.
4. Записать уравнение движения для каждого тела с учетом начальных условий и знаков проекций скорости.
5. Решить задачу в общем виде.
6. Подставить в формулу значения величин и выполнить вычисления.
7. Проанализировать ответ.
Два автомобиля движутся навстречу друг другу равномерно и прямолинейно: один — со скоростью 10 м/с, другой — со скоростью 20 м/с. Определите время и координату места встречи автомобилей, если в начальный момент времени расстояние между ними равно 120 м.
Дано:Решениеv1 = 10 м/сv2 = 20 м/сl = 120 мАвтомобили можно считать материальными точками, поскольку расстояние между ними много больше их размеров.t ?x ?Задачу можно решить двумя способами: аналитически и графически.
1-й способ. Свяжем систему отсчета с Землей, ось OX направим в сторону движения первого автомобиля, за начало отсчета координаты выберем точку O — положение первого автомобиля в начальный момент времени (рис. 12).
В начальный момент времени координаты каждого тела равны: x01 = 0; x02 = l.
Запишем уравнение движения: x = x0 + vxt.
Уравнения движения для каждого тела с учетом начальных условий имеют вид:
x1 = v1t; x2 = l – v2t.
В момент встречи тел x1 = x2, следовательно: v1t = l – v2t.
Отсюда t = ;
t = = 4 с.
Подставив значение времени в уравнение для координаты первого автомобиля, получим значение координаты места встречи автомобилей: x = 10 •4 с = 40 м.
2-й способ. Построим графики зависимости координаты автомобилей от времени, соответствующие уравнениям x1 = 10t (м) и x2 = 120 – 20t (м) (рис. 13). Точка A пересечения графиков соответствует времени и координате места встречи автомобилей: t = 4 с, x = 40 м.
Ответ: t = 4 с, x = 40 м.