Verified answer

1) Если диагонали четырёхугольника делят его углы пополам, то этот четырёхугольник - ромб.

Да. Каждая диагональ такого четырехугольника делит его на  треугольники, углы которых при основании равны, т.е. на  равнобедренные. Все стороны четырехугольника равны. Это - ромб. 

2) Центром окружности, описанной около правильного треугольника, является точка пересечения его высот. 

Да. Центр окружности, описанный около треугольника, лежит в точке пересечения его срединных перпендикуляров. Высоты правильного треугольника - перпендикуляры к серединам его сторон, т.е. срединные. 

3)Треугольник, стороны которого равны 7, 12, 13 является прямоугольным.

Нет. Эта тройка не отвечает т. Пифагора с²=а²+b². Прямоугольным является треугольник со сторонами 5,12,13. 

4)Любые два прямоугольных треугольника подобны.

Нет. Наличия прямого угла недостаточно для подобия прямоугольных треугольников. Сравни равнобедренный прямоугольный треугольник и треугольник с острыми углами 30º и 60º