какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов ар. прогрессии, ес...

krasotka14 @krasotka14

July 2022 1 6 Report

какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов ар. прогрессии, если а21=33, а27=9

Answers & Comments

math89

По свойству арифметической прогрессии:

$a_n= a_1-(n-1)d$

У нас известно 2 члена арифметической прогрессии, составим из них систему и найдем $d$ и $a_1$ :

$\left \{ {{a_1+20d=33} \atop {a_1+26d=9}} \right.$

Выражаем ихз первого $a_1$ и получаем:

$a_1=33-20d$

Подставляем во второе и получаем:

$33-20d+26d=9 \\ 6d+33=9 \\6d=-24 \\d=-4$

Подставляем d в выражение для $a_1$ и получаем:

$a_1=33-20\cdot(-4)=33+80=113$

Теперь напишем формулу для суммы n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

теперь подставляем в это выражение найденные числа и получаем:

$S_n=\frac{226-4(n-1)}{2}\cdot n = \\ =(\frac{226-4n+4}{2})\cdot n= \\ =(\frac{230-4n}{2})\cdot n= \\ =(115-2n)n=-2n^2+115n$

Получилась функция, которая зависит от n.

Нужно найти ее максимум:

Поскольку это парабола ветви которой направлены вниз (потому что перед $n^2$ стоит отрицательный коэффициент), то максимумом у нее будет точка, где производная принимает значение равное 0.