Какое наименьшее значение может принимать значение: sin^6x+cos^6x. Created by РомалВекаси. algebra-ru

Какое наименьшее значение может принимать значение: sin^6x+cos^6x...

July 2022 1 6 Report

Какое наименьшее значение может принимать значение: sin^6x+cos^6x

Answers & Comments

artalex74 Преобразуем выражение:
$y=sin^6x+cos^6x=(sin^2x)^3+(cos^2x)^3= \\ =(sin^2x+cos^2)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)=\\ =(sin^2x+cos^2x)^2-3sin^2xcos^2x=1- \frac{3}{4} sin^22x=\\ =1- \frac{3}{8} (1-cos4x)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x.$
Оценим новое выражение
$-1 \leq cos4x \leq 1 \\
-\frac{3}{8} \leq \frac{3}{8}cos4x \leq \frac{3}{8}\\ 
\frac{5}{8} -\frac{3}{8} \leq \frac{5}{8} + \frac{3}{8}cos4x \leq \frac{5}{8} +\frac{3}{8}\\ \frac{1}{4} \leq y \leq 1$
Из последнего неравенства следует, что исходное выражение может принимать наименьшее значение, равное $\frac{1}{4}$ = 0,25.

5 votes Thanks 3

Denik777 Можно было остановиться уже на 1-3/4*sin^2(x). Понятно, что выражение минимально, когда синус квадрат максимаелн, т.е. равен 1. Значит ответ 1-3/4=1/4.

Denik777 вернее 1-3/4*sin^2(2x).

artalex74 разумеется, понятно. моя традиция - понизить степень. не навязываю )))

РомалВекаси Классно-классно!

Answers & Comments

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social