sonyatsyplakova Кувыркаться образованно от слова кувыркать. А это 1 спряж. Можно проверить: (он) кувыркается; (они)  кувыркаются.  Следовательно 1 спряж. 

larisagordeeva181002 У слова кувыркаться - 1. Кувыркаться. Окончание ат-(ят), следовательно, кувыркаться 1 спряжения.