Какова формула Маклорена для ln(ch(x))? Ln - логарифм Ch(x) - гиперболический косинус. Created by Oliviya16. matematika-ru

Ответ:Пошаговое объяснение:Пусть искомое разложение в некоторой окрестности нуля найдено: В области сходимости ряд можно почленно дифференцировать. Тогда, т.к. ,и при этом известно разложение ,получаемЗначит, Отсюда Найдем интервал сходимости.Для вычисления используемТогдаЗначит, разложение верно для________________________ - числа Бернулли

Какова формула Маклорена для ln(ch(x))? Ln - логарифм Ch(x)

Oliviya16 @Oliviya16

August 2021 1 15 Report

Какова формула Маклорена для ln(ch(x))?
Ln - логарифм
Ch(x) - гиперболический косинус

Answers & Comments

igorShap

Ответ:

$ln(ch(x))=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n} x^{2n}=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{12}+\dfrac{x^6}{45}+..., |x|$

Пошаговое объяснение:

Пусть искомое разложение в некоторой окрестности нуля найдено:

$ln(ch(x))=\left[ln(ch(0))=0\right]=\sum\limits_{n=1}^\infty a_{2n-1}x^{2n-1}+\sum\limits_{n=1}^\infty b_{2n}x^{2n}$

В области сходимости ряд можно почленно дифференцировать. Тогда, т.к.

$(ln(ch(x))'=\dfrac{1}{ch(x)}\cdot sh(x)=th(x)$ ,

и при этом известно разложение

$th(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!}x^{2n-1},\;|x|$ ,

получаем

$\sum\limits_{n=1}^\infty (2n-1)\cdot a_{2n-1}x^{2n-2}+\sum\limits_{n=1}^\infty 2n\cdot b_{2n}x^{2n-1}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!}x^{2n-1}$

Значит,

$a_{2n-1}=0, n\in N; b_{2n}=\dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n},n\in N$

Отсюда

$ln(ch(x))=\sum\limits_{n=1}^\infty 0\cdot x^{2n-1}+\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n} x^{2n}=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n} x^{2n}$

Найдем интервал сходимости.

$\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{\frac{B_{2n+2}4^{n+1}(4^{n+1}-1)}{(2n+2)!\cdot (2n+2)} x^{2n+2}}{\frac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n} x^{2n}}\right|=(*)$

Для вычисления используем

$B_{2n}\underset{n\to\infty}{\sim}\dfrac{(2n)!}{(2\pi)^{2n}}$

Тогда

$(*)=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{\frac{(2n+2)!}{(2\pi)^{2n+2}}\frac{4^{n+1}(4^{n+1}-1)}{(2n+2)!\cdot (2n+2)} x^{2n+2}}{\frac{(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n} x^{2n}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{\frac{1}{(2\pi)^{2}}\frac{4(4^{n+1}-1)}{(2n+2)} x^{2}}{\frac{(4^n-1)}{2n} }\right|=$

$=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{\frac{1}{\pi^{2}}\frac{(4^{n+1}-1)}{(n+1)} x^{2}}{\frac{(4^n-1)}{n} }\right|=\dfrac{x^2}{\pi^2}\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{(4^{n+1}-1)}{(4^n-1)}\cdot \dfrac{n}{n+1}\right|=\dfrac{x^2}{\pi^2}\cdot 4=\left(x\cdot \dfrac{2}{\pi}\right)^2$

Значит, разложение верно для

$\left(x\cdot \dfrac{2}{\pi}\right)^2$

________________________

$B_{2n}$ - числа Бернулли

1 votes Thanks 0

Answers & Comments

2 20 639e27ecd9d48

ustanovite pravilnost utverzhdenij 1 mezhdunarodnoe razdelenie truda strany af

pomogite preobrazovat vyrazhenie pozhalujsta nikak ne poluchaetsya

pozhalujsta pomogite proverte test tolko esli vy uvereny v otvete otmechu o

dayu 20 ballov os katushki imeyushij 50 vitkov parallelna magnitnym liniyam odnor

dano naturalnoe chislo najdite kolichestvo cifr 5 v chisle paskal pomogite p

telo nahoditsya nad poverhnostyu zemli na rasstoyanie ravnom radiusu zemli vo sk

pomogite pozhalujsta ochen nuzhno programma na paskale

pozhalujsta pomogite programma na paskale

pomogite pozhalujsta ochen nuzhna pomosh programma na pascal

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social