Катет AC прямоугольного треугольника ABC (\C = 90±) разбит точками D и E на три равные части. Площадь треугольника BDE равна 3. Точка F – середина катета BC. Найдите площадь треугольника ABF. Created by nikolayarkhipo. geometriya-ru

Катет AC прямоугольного треугольника ABC (\C = 90±) разбит точками D и E на три ...

volodyk

Verified answer

Треугольник АВС, уголС=90 Площадь ВДЕ=3
Медиана делит треугольник на равновеликие треугольники. Треугольник АВЕ, где ВД-медиана (АД=ДЕ), площадьВДЕ=площадьАВД=3, треугольникВДС, где ВЕ-медиана, площадьВДЕ=площадьВЕС=3, Площадь АВС=3+3+3=9
АФ-медиана треугольника АВС, площадьАФС=площадьАВФ =9/2=4,5

2 votes Thanks 1

Матов

Verified answer

Можно так, по условию AD=DE=EC=x , и CF=FB=y
выразим площадь BED через синус и стороны BD и ЕВ
По теореме Пифагора
$EB=\sqrt{x^2+4y^2}\\
DB=\sqrt{4x^2+4y^2}\\
\\
$
синус угла между ними по теореме косинусов, затем переведем на синус получим
$sinBDE=\sqrt{(1-(\frac{(x^2-5x^2-8y^2)}{-4\sqrt{((x^2+y^2)(x^2+4y^2)}})^2}=\\
S_{BED}=\sqrt{(x^2+y^2)*(x^2+4y^2)}*\sqrt{(1-(\frac{(x^2-5x^2-8y^2)}{-4\sqrt{((x^2+y^2)(x^2+4y^2)}})^2}=xy\\
xy=3\\
$
то есть после упрощения получили такое соотношение , по свойству медиана делить треугольник на два равновеликих треугольника
$S_{AFC}=S_{ABF}\\
S_{AFC}=\frac{3x*\frac{3}{x}}{2}=4.5\\
S_{ABF}=4.5$

3 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social