Катет BC прямоугольного треугольника ABC равен 10 . Через вершину прямого угла C...

August 2022 1 34 Report

Катет BC прямоугольного треугольника ABC равен 10 . Через вершину прямого угла C проведена прямая, от которой вершина A удалена на 3 , а вершина B — на 8 . Определите квадрат гипотенузы AB .

Answers & Comments

MrSolution

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Первый способ:

Пусть ∠ECB=a. Тогда, т.к. ∠ACB=90°, то $90+\alpha+\angle ACH=180\;=>\;\angle ACH=90-\alpha$ . Соответственно $\angle HAC=90-(90-\alpha)=\alpha$ . Значит треугольник AHC подобен треугольнику BEC по двум углам (∠AHC=∠BEC=90° и ∠ECB=∠HAC= $\alpha$ ). Из подобия следует, что $\dfrac{AH}{CE}=\dfrac{AC}{BC},\;=>\dfrac{3}{6}=\dfrac{AC}{10},\;=>AC=5$ . Тогда по теореме Пифагора для ΔABC: $AB^2=25+100=125$ .

Приведу решение, в котором используется только теорема Пифагора:

Пусть AC=x. AH=3, а BE=8. Тогда из прямоугольного треугольника AHC $AC^2=x^2-9,\;=>AC=\sqrt{x^2-9}$ . Из прямоугольного треугольника BCE $CE=\sqrt{100-64}=6$ . Значит $HE=\sqrt{x^2-9}+6$ . Проведем AF - высоту из точки A на BE. Тогда AFEH - прямоугольник => $AF=HE=\sqrt{x^2-9}+6$ . По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AFB $(\sqrt{x^2-9}+6)^2+25=AB^2$ . Но с другой стороны из прямоугольного треугольника ABC $AB^2=x^2+100$ , т.е. получили уравнение $(\sqrt{x^2-9}+6)^2+25=x^2+100$ , откуда x=5, а значит $AC=5$ . Тогда $AB^2=25+100=125$ .