Verified answer

Пример решение задачи смотри в первом приложении.

Доказательство того, что длины доски всё-таки хватит (для 8го класса), находится ниже.

См. приложение №2.

Берега острова и пруда параллельны, остров находится по середине пруда, поэтому ABCD - четырёхугольник с равными сторонами (AB=BC=CD=AD) и прямым углом (∠ABC=90°). Значит, ABCD - квадрат.

Доски (MN, DP) были расположены таким образом, что BM=BN и DP⊥MN (минимальное расстояние от точки до прямой это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую).

1.

ΔMBN - равнобедренный (BM=BN) и прямоугольный (∠MBN=90°), поэтому ∠BMN=45°;

ΔABC - равнобедренный (BA=BC) и прямоугольный (∠ABC=90°), поэтому ∠BAC=45°;

AC║MN т.к. соответственные углы, при пересечении прямых AC и MN секущей AM, равны (∠BMN=45°=∠BAC);

• Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу.

Поэтому DB⊥AC ⇒ DB⊥MN и DP⊥MN, поэтому прямые DB и DP совпадают. Значит, P∈DB.

2.

Пусть DP=d и AD=r, тогда по условию d<r.

DP=MN (для удобства доски равны) ⇒ MN=d

Медиана проведённая из прямого угла треугольника равна половине гипотенузы.

Поэтому PB = MN:2 = d:2

DB = DP+PB =

С другой стороны DB = AD·√2, как диагональ квадрата ABCD;

DB = r√2.

Длины досок хватит, если ;

Коэффициент при r меньше единицы, поэтому d должно быть не меньше, чем число, которое чуть меньше r.

По условию d<r.  Значит, длины хватит, что и требовалось доказать.

*Если округлить, то длина доски должна составлять хотя бы 95% от ширины пролива.