Конус и усечённый конус имеют общее основание. Других общих тачек у них нет. Образующая поверхности конуса равна образующей поверхности усеченного конуса. Суммарная высота объединения конуса и усеченного конуса равна 2. Радиус другого, большего основания усеченного конуса равен 1.
1. а) Чему равен объём всего тела, когда радиус основания конуса равен 0,9?
б) Чему равен объем всего тела, когда высота конуса равна высоте усеченного конуса?
2. В каких границах лежит объём такого тела?
3. Одно из оснований усеченной пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной 5 см. Периметр второго основания равен 32 см. Найдите объем пирамиды, если её высота равна 4 см.
1. а) Чему равен объём всего тела, когда радиус основания конуса равен 0,9?
б) Чему равен объем всего тела, когда высота конуса равна высоте усеченного конуса?
2. В каких границах лежит объём такого тела?
3. Одно из оснований усеченной пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной 5 см. Периметр второго основания равен 32 см. Найдите объем пирамиды, если её высота равна 4 см.
Answers & Comments
Verified answer
Я долго думал, как они расположены и, наконец, понял.Образующие обозначим L, они одинаковые.
Суммарная высота O1O2 + O2A = H1 + H2 = 2
Большой радиус усеченного конуса R1 = 1.
1. a) Если R2 = 0,9, то в усеченном конусе
L^2 = H1^2 + (R1-R2)^2 = H1^2 + (0,1)^2 = H1^2 + 0,01
H1 = √(L^2 - 0,01)
V1 = 1/3*pi*H1*(R1^2 + R1*R2 + R2^2) =
= 1/3*pi*√(L^2-0,01)*(1^2+1*0,9+0,9^2) =
= 1/3*pi*√(L^2-0,01)*(1+0,9+0,81) = 2,71/3*pi*√(L^2-0,01)
А в полном конусе
L^2 = H2^2 + R2^2 = H2^2 + (0,9)^2 = H2^2 + 0,81
H2 = √(L^2 - 0,81)
V2 = 1/3*pi*H2*R2^2 = 1/3*pi*√(L^2-0,81)*(0,9)^2 = 1/3*pi*√(L^2-0,81)*0,81
Общий объем равен
V = V1 + V2
б) Если H1 = H2 = H, то в усеченном конусе
L^2 = H^2 + (R1-R2)^2 = H^2 + (1-R2)^2
R2 = 1 - √(L^2 - H^2)
V1 = 1/3*pi*H*(R1^2 + R1*R2 + R2^2) = 1/3*pi*H*(1 + 1*R2 + R2^2)
А в полном конусе
L^2 = H^2 + R2^2
R2 = √(L^2 - H^2)
V2 = 1/3*pi*H*R2^2 = 1/3*pi*H*(L^2 - H^2)
Приравниваем R2
1 - √(L^2 - H^2) = √(L^2 - H^2)
2*√(L^2 - H^2) = 1
√(L^2 - H^2) = 1/2 = R2
Подставляем
V1 = 1/3*pi*H*(1 + 1*R2 + R2^2) = 1/3*pi*H*(1 + 1*1/2 + 1/4) = 7/12*pi*H
V2 = 1/3*pi*H*R2^2 = 1/3*pi*H*1/4 = 1/12*pi*H
Общий объем
V = V1 + V2 = 7/12*pi*H + 1/12*pi*H = 8/12*pi*H = 2/3*pi*H
2. Границы - не знаю, как оценить.
3. Верхнее основание имеет стороны 5, 5, 6, P = 5 + 5 + 6 = 16
Высота этого треугольника h1 = √(5^2 - 3^2) = 4 см
Площадь S1 = 6*4/2 = 12 кв.см.
Нижнее основание имеет P = 32, и оно подобно верхнему.
Значит, это тоже равнобедренный тр-ник со сторонами 10, 10, 12.
Его площадь S2 = 4S1 = 12*4 = 48 кв.см.
Высота пирамиды H = 4 см. Объем пирамиды
V = 1/3*H*(S1 + √(S1*S2) + S2) = 1/3*4*(12 + √(12*48) + 48) =
= 1/3*4*(60 + √576) = 1/3*4*(60 + 24) = 1/3*4*84 = 4*28 = 112 куб.см.