координаты:А(-5,-7)В(7,-2)С(11,20)
даны координаты вершин треугольника авс найти:
1.Длину стороны АВ
2.уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты
3.угол Ψ между прямыми ав и вс в радианах.
4.уравнение высоты СD и ее длину
5.уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересичение этой медианы с высотой СD
6.уравнение прямой L которая проходит через точку К параллельно к сторне АВ.
7. координаты точки F(X_F Y_F) которая находится симметрично точке А отностьельно прямой СD.
даны координаты вершин треугольника авс найти:
1.Длину стороны АВ
2.уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты
3.угол Ψ между прямыми ав и вс в радианах.
4.уравнение высоты СD и ее длину
5.уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересичение этой медианы с высотой СD
6.уравнение прямой L которая проходит через точку К параллельно к сторне АВ.
7. координаты точки F(X_F Y_F) которая находится симметрично точке А отностьельно прямой СD.
Answers & Comments
Verified answer
1)Расчет длин сторон:АВ =√((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²)= √169 = 13,
BC =√((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²)= √500 = 22.36067977,
AC =√((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²)= √985 = 31.38470965.
2) Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.
ХаУа ХвУв ХсУс
-5 -7 7-2 1120
АВ: 5х - 12у - 59 = 0.
В виде уравнения с коэффициентом:
у = (5/12)х - (59/12), или у =0.416667х - 4.9167.
Угловой коэффициент равен:
Кав= (Ув-Уа) / (Хв-Ха)= 5/12 = 0.416667.
Аналогично находим уравнение стороны ВС:
ВС:22х - 4у - 162=0
Можно сократить на 2:
ВС: 11х - 2у - 81 = 0.
В виде уравнения с коэффициентом:
у = (11/2)х - (81/2), или у =5.5х - 40.5.
Угловой коэффициент равен:
Квс= (Ус-Ув) / (Хс-Хв ) = 11/2 = 5,5.
3) Угол Ψ между прямыми АВ и ВС в радианах.
Это угол В, его определяем по теореме косинусов:
cos В= (АВ²+ВС²-АС²) / (2*АВ*ВС) =-0.543537
B =2.145441радиан =122.9247градусов.
4) Уравнение высоты СD и ее длина.
СD: (Х-Хс) / (Ув-Уа) = (У-Ус) / (Ха-Хв).
В каноническом виде:
В общем виде CD: -12x - 5y +232=0 или с положительным коэффициентом при х:
CD: 12x + 5y - 232 = 0.
Длина высоты CD:
CD =2S / BA .
Находим площадь треугольника :
S = (1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| =122.
Тогда CD = 2*122 / 13 = 18.76923.
5) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD .
Находим координаты точки Е как средней между точками В и С:
Е((7+11)/2=9; (-2+20)/2=9) = (9; 9).
Уравнение АЕ:
Можно сократить на 2:
АЕ: 8х - 7у - 9 = 0.
Координаты точки К пересечения медианы АЕ с высотой СD находим решением системы уравнений этих прямых:
8х - 7у - 9 = 0 40х - 35у - 45 = 0
12x + 5y - 232 = 0 84х + 35у - 1624 = 0
-------------------------------
124х - 1669 = 0
Хк = 1669 / 124 = 13.45968.
Ук = (8х - 9) / 7 = 14.09677.
6) Уравнение прямой L, которая проходит через точку К параллельно стороне АВ.
У прямой L коэффициент к = 5/12 = 0.416667 (как и у прямой АВ).
Подставляем координаты точки К:
14.09677 = 0.416667*13.45968 + в.
Отсюда находим "в":
в = 14.09677 - 0.416667*13.45968 = 8.488575.
Получаем уравнение прямой L:
у = 0.416667х + 8.488575.
7) Координаты точки F(X_F Y_F), которая находится симметрично точке А относительно прямой СD.
Так как прямая СD - это перпендикуляр к стороне АВ, то точка D - центр симметрии.
Координаты D(18.2189349; 2.6745562).
xF = 2*xD - xA = 2*18.2189349 - (-5) = 41.4378698,
yF = 2*yD - yA = 2*2.6745562 - (-7) = 12.349112.