Пошаговое объяcнение:Задание Решить неравенство

   \[ \sin x\le \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Решение  Поскольку

   \[ \left| \frac{\sqrt{3}}{2} \right|<1 \]

, то это неравенство имеет решение и его можно решить двумя способами.

Первый способ. Решим это неравенство графически. Для этого построим в одной системе координат график синуса y=\sin x и прямой y=\frac{\sqrt{3}}{2} (рис. 2).

Рис. 2

Выделим промежутки, на которых синусоида расположена ниже графика прямой y=\frac{\sqrt{3}}{2}. Найдем абсциссы {{x}_{1}} и {{x}_{2}} точек пересечения этих графиков:

   \[{{x}_{1}}=\pi -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3} \]

   \[{{x}_{2}}=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi =\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}\]

Получили интервал \left[ -\frac{4\pi }{3};\ \frac{\pi }{3} \right], но так как функцию y=\sin x периодическая и имеет период 2\pi, то ответом будет объединение интервалов: \left[ \frac{2\pi }{3}+2\pi k;\ \frac{7\pi }{3}+2\pi k \right],\quad k\in Z.

Второй способ. Построим единичную окружность и прямую y=\frac{\sqrt{3}}{2}, точки их пересечения обозначим {{P}_{{{x}_{1}}}} и {{P}_{{{x}_{2}}}} (рис. 3). Решением исходного неравенства будет множество точек ординаты, которых меньше \frac{\sqrt{3}}{2}. Найдем значение {{x}_{1}} и {{x}_{2}}, совершая обход против часовой стрелки, {{x}_{1}}<{{x}_{2}}:

Рис. 3

   \[{{x}_{1}}=\pi -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3} \]

   \[{{x}_{2}}=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi =\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}\]

Учитывая периодичность функции синус, окончательно получим интервалы \left[ \frac{2\pi }{3}+2\pi k;\ \frac{7\pi }{3}+2\pi \right],\quad k\in Z.

Ответ  x\in \left[ \frac{2\pi }{3}+2\pi k;\ \frac{7\pi }{3}+2\pi \right],\quad k\in Z

ПРИМЕР 2

Задание  Решить неравенство \sin x>2

Решение  Синус – функция ограниченная: \left| \sin x \right|\le 1, а правая часть данного неравенства больше единицы, поэтому решений нет.

Ответ  решений нет.