Verified answer

3) Примем куб с ребром 6 (для кратности длин отрезков).

Поместим его в прямоугольную систему координат вершиной В начало, ВА по оси Ох, ВС по оси Оу.

Координаты точек: В1(0; 0; 6), М(0; 4; 0). Вектор В1М(0; 4; -6).

Его модуль равен √(0 + 16 + 36) = √52 = 2√13.

                                  А1(6; 0; 6), К(3; 0; 0). Вектор А1К(-3; 0; -6).

Его модуль равен √(9 + 0 + 36) = √45 = 3√5.

Находим косинус угла:

cos α = (0*-3 + 4*0 + -6*-6)/(2√13*3√5) = 36/(6√65) = 6/√65.

4)а) Сечение С1ТР дано во вложении.

б) Используется свойство - линии сечения в параллельных плоскостях параллельны. Линия из точки Р делит ДД1 (1/2)*(4/5) = 2/5 (это ДF).

5) Так как стороны треугольника перпендикулярны высотам, то один из углов треугольника равен φ. Пусть это угол С.

BC = H1/sin φ,

AC = H2/sin φ.

Третью сторону находим по теореме косинусов.

АВ = √((H1²/sin² φ) +  (H2²/sin² φ) - 2* (H1/sin φ)*( H2/sin )*cos φ) =

     = √(H1² +  H2² - 2* H1* H2*cos φ) / sin φ.