Круг радиуса R обложен четырьмя равными кругами, касающимися данного так, что каждые два соседних из этих четырех кругов касаются друг друга. Вычислить площадь одного из этих кругов.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Пусть четыре внешних окружности одного радиуса с центрами в точках А,В,С и D касаются друг друга и окружности с центром в точке О.
Для двух касающихся внешним образом окружностей, прямая, соединяющая центры этих окружностей, перпендикулярна их общей касательной. Следовательно, четырехугольник АВСD является прямоугольником с равными (2R1) сторонами, то есть квадратом. Отрезок, соединяющий центр О с центром любой из четырех окружностей равен половине диагонали этого квадрата.
То есть ОВ = (1/2)*(2*R1)*√2= R1*√2. (1)
ОВ = R+R1 (2). Приравняем (1) и (2): R1*√2 = R+R1 =>
R1 = R/(√2 -1). Тогда площадь одного из внешних кругов равна
S = πR1² = πR²/(√2 -1)². Это ответ.
Если принять приближенное значение π ≈ 3,14, а √2 ≈ 1,41 то S ≈ 18,47*R² ед².