Verified answer

29.1) lim(x->-1) (2x^2+x-1)/(x^2-3x-4)

     Разложим числитель и знаменатель на множители получим

      lim(x->-1) (2x^2+x-1)/(x^2-3x-4)=lim(x->-1)  ((x+1)(2x-1))/((x+1)(x-4))

Сократим числитель и знаменатель на (x+1), получим

     lim(x->-1)  (2x-1)/(x-4) =(2*(-1)-1)/(-1-4)=-3/-5=3/5

29.2) lim(x->беск) (x^3+4x^2-1)/(x^2-x+5)

        Имеем неопределенность  беск/беск

        В числителе наибольшая степень 3 в знаменателе 2,поэтому и числитель и знаменатель делим на x^3

    lim(x->беск) (x^3+4x^2-1)/(x^2-x+5) =

=lim(x->беск)  ((x^3/x^3 +4x^2/x^3 -1/x^3)/(x^2/x^3 -x/x^3 +5/x^3)=

=lim(x->беск  ((1+4/x-1/x^3)/(1/x-1/x^2 +5/x^3)=1/0 =беск

29.3)  lim (x->2) (x^2-x-2)/(sqrt(4x+1)-3)

       Имеем неопределенность 0/0

       Разложим числитель на множители, а потом и числитель и знаменатель разделим на сопряженное значение знаменателя

lim (x->2) (x^2-x-2)/(sqrt(4x+1)-3)=

=lim (x->2) ((x+1)(x-2))/(sqrt(4x+1)-3)=

=lim (x->2) ((x+1)(x-2))(sqrt(4x+1)+3)/((sqrt(4x+1)-3)(sqrt(4x+1)+3))=

=lim (x->2) ((x+1)(x-2))(sqrt(4x+1)+3)/(4x-8)=

=lim (x->2) ((x+1)(x-2))(sqrt(4x+1)+3)/(4(x-2))=

=lim(x->2 ((x+1)(sqrt(4x+1)+3)/4  =

=(2+1)(sqrt(4*2)+3)/4=3*6/4=18/4=9/2

29.5 lim(x->беск) ((5x+2)/(5x-1))^4x=

       = lim(x->беск) (1+3/5x-1)^4x=

       =lim(x->беск) (1+3/5x-1)^(((5x-1)/3)*(3/(5x-1))*4x)=

      =e^(lim x-> беск (12x/(5x-1))=

=e^(lim x-> беск ((12x/x)/((5x/x)-(1/x))=e^(12/5)

  Здесь в расчете применен второй замечательный предел

    lim (x->беск) (1+1/x)^x=e

29.4)  lim(x->0)  2x^2/(1-cos(16x))

        используем первый замечательный предел

           lim (x->0) (sin(x)/x)=1

  для чего преобразуем исходную функцию

   lim(x->0)  2x^2/(1-cos(16x)) =

=lim(x->0)  2x^2/2sin^2(8x)=

=lim(x->0)  x^2/sin^2(8x)=

=lim (x->0)  (8x/8sin(8x))^2=

=(1/8)^2=

=1/64