Verified answer

Условие насчет шара просто задает нам равенство расстояния между сечениями и диаметра окружности, вписанной в треугольники в сечениях. Ясно, что диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, но так же ясно, что диаметр шара равен расстоянию между основаниями, раз шар их касается. 

Из соображений симметрии понятно и то, что плоскости сечений перпендикулярны большой диагонали куба, соединяющей "отсеченные" вершины (это ОЧЕНЬ просто увидеть, если посмотреть на куб вдоль этой диагонали). 

Смысл решения такой. 

Находим большую диагональ d = a*корень(3);

далее, пусть сторона треугольника x,

тогда диаметр вписанной окружности D = x/корень(3),  

боковая сторона отсеченных правильных треугольных пирамид равна

x/корень(2), её проекция на основание (на плоскость треугольника, это радиус ОПИСАННОЙ вокруг правильного треугольника окружности) равна x/корень(3), отсюда высота пирамиды равна 

H^2 = x^2/2 - x^2/3 = x^2/6; H = x/корень(6);

Ну, и получаем соотношение

d - 2*H = D; то есть

a*корень(3) - 2*x/корень(6) = x/корень(3); 

а радиус шара равен r = D/2= x/(2*корень(3))

a*корень(3) = 2*r*(корень(2) + 1);

r = (1/2)*a*корень(3)/(корень(2) + 1);

Вроде так :(((