Ответ:

∠C = 36° ,  ∠A = 108°  , ∠B = 36°

Объяснение:

AE - высота

BL - биссектриса

Пусть биссектриса   BL делит  ∠B на два угла  равных a , и  далее выводим

∠C = 2a

∠CLB = 180 -3a

∠EAB = 90 - a

Обозначим  :

BL = 2y

AE = y  

Рассмотрим  ΔAEB

Применим Теорему синусов :

[tex]\displaystyle \frac{x}{\sin (90 ^{\circ}-2a)} = \frac{y}{\sin 2a} = \dfrac{AB}{\sin 90^{\circ}}[/tex]

[tex]*~~\displaystyle \frac{y}{\sin 2a} = \frac{x}{\sin (90 ^{\circ}-2a)}[/tex]

Теперь рассмотрим  ΔCLB , также применяем Теорему синусов :

[tex]\displaystyle \frac{2x}{(180^{\circ} -3a)} =\frac{2y}{\sin 2a} =\frac{CL}{\sin a}[/tex]

[tex]**~~\displaystyle \frac{y}{\sin 2a}= \frac{x}{ \sin (180^{\circ} -3a)}[/tex]

И  мы получим  :

[tex]\displaystyle \frac{x}{\sin (90 -2a)}=\frac{x}{ \sin (180 -3a)} \\\\\\ \sin (90-2a) = \sin (180 -3a)[/tex]

[tex]\sin 3a= \cos 2a[/tex]

Учтем  что [tex]90-2a > 0 \Rightarrow a < 45[/tex]

Таким образом 45 не является  корнем данного уравнения , методом подбора можно найти корень a = 18°

[tex]\sin (3 \cdot 18 ) = \cos (2\cdot 18)[/tex]
[tex]\sin 54 = \cos 36[/tex]

[tex]\sin (90 - 54) = \cos 54~ \checkmark[/tex]

Либо же пойти данным путем

[tex]\sin 3a = \cos 2a[/tex]

Применим формулы :

[tex]\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin ^3 \alpha[/tex]

[tex]\cos 2\alpha = 1 -2\sin^2a[/tex]

И мы получим :

[tex]3\sin a - 4\sin ^3a = 1 - 2\sin^2a \\\\ 4\sin^3a - 2\sin ^2a - 3\sin a + 1 = 0[/tex]

Введем замену :

[tex]\sin a = t[/tex]

[tex]4t^3 - 2t^2 - 3t + 1= 0[/tex]

Применяем схему Горнера

[tex]\large \begin{array} {c|c|c|c|c|c|} \bold {1} & \stackrel{\pmb{t^3}}{4} & \stackrel{\pmb{t^2}}{-2} & \stackrel{\pmb{t}}{-3} & \stackrel{\pmb{1}}{1} & \cline{7 - 12} & & 4&2&-1& \cline {7-12} & & \bf 2&\bf -1&\bf 0&\cline {7-12} \end{array}[/tex]

[tex]4t^3 - 2t^2 - 3t + 1= (t-1)(4t^2 + 2t -1)[/tex]

корень  sin a = t = 1  мы не учитываем , т.к   0<a<45

Остается решить уравнение

[tex]4t^2 + 2t -1 =0[/tex]

D = 4 + 16 = 20

берем только  положительный корень

[tex]t= \dfrac{-2+2\sqrt{5} }{2\cdot 4} =\dfrac{\sqrt{5}-1 }{4}[/tex]

Находим  угол a

[tex]\sin a =\dfrac{\sqrt{5}-1 }{4} ~ ,~ 0 < a < 45 \\\\ a = \arcsin \bigg (\dfrac{\sqrt{5}-1 }{4}\bigg )= 18^\circ[/tex]

Таким образом данный треугольник  имеет углы :

2a = 36°  ,   180 - 4a = 108°  ,  2a = 36°

#SPJ1