Для начала найдем область допустимых значений самих логарифмов. Мы знаем, что выражение, находящееся под знаком логарифма, всегда должно быть положительным. Тогда:
Объединением этих двух промежутков является [tex]x > 9[/tex] , или [tex]\boxed{\boldsymbol{x\in\left(9;\ +\infty\right)}}[/tex] , значит, это и будет областью допустимых значений.
Теперь перейдём к самому нашему неравенству и начнём упрощать его. По свойству логарифмов: [tex]\boldsymbol{\log_ax + \log_ay = \log_axy}[/tex].
Теперь нам надо привести правую часть к логарифму с таким же основанием, что и в левой части. Мы знаем, что [tex]\boldsymbol{2 = \log_39}[/tex] . Подставим это в неравенство.
Теперь и в левой, и в правой части у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, и мы можем сравнить выражения под знаком логарифма. Но прежде обратим внимание на основание. Основание равно 3, что больше единицы, значит, знак неравенства не меняется.
Для начала найдем значения, при которых множители в левой части обратятся в ноль. С первым множителем всё просто, получаем [tex]\boldsymbol{x = 0}[/tex], а теперь найдём ноль второго множителя.
Так как неравенство имеет знак "меньше", то нам надо выбрать те промежутки, где стоит знак "минус". Такой только один: [tex]\boldsymbol{x\in\left(0;\ \frac{19}{2}\right)}[/tex] . Но не забываем про найденную нами в самом начале область определения, согласно которой наш [tex]x[/tex] не может быть меньше, чем 9. Таким образом, наша левая граница сдвигается к 9, а правая остаётся такой же. И получаем финальный ответ: [tex]\boxed{\boldsymbol{x\in\left(9;\ \frac{19}{2}\right)}}[/tex] .
Answers & Comments
Відповідь:
Пояснення:
фото
[tex]\log_3\left(2x-1\right) + \log_3\left(x-9\right) < 2[/tex]
Для начала найдем область допустимых значений самих логарифмов. Мы знаем, что выражение, находящееся под знаком логарифма, всегда должно быть положительным. Тогда:
[tex]\begin{equation*}\begin{cases}2x -1 > 0\\x - 9 > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}2x > 1\\x > 9\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}2x > 1\\x > 9\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x > 0.5\\x > 9\end{cases}\end{equation*}[/tex]
Объединением этих двух промежутков является [tex]x > 9[/tex] , или [tex]\boxed{\boldsymbol{x\in\left(9;\ +\infty\right)}}[/tex] , значит, это и будет областью допустимых значений.
Теперь перейдём к самому нашему неравенству и начнём упрощать его. По свойству логарифмов: [tex]\boldsymbol{\log_ax + \log_ay = \log_axy}[/tex].
[tex]\log_3\left(\left(2x-1\right)\left(x-9\right)\right) < 2[/tex]
Теперь раскроем скобку:
[tex]\log_3\left(2x^2 - 18x - x + 9\right) < 2\\\\\log_3\left(2x^2-19x+9\right) < 2[/tex]
Теперь нам надо привести правую часть к логарифму с таким же основанием, что и в левой части. Мы знаем, что [tex]\boldsymbol{2 = \log_39}[/tex] . Подставим это в неравенство.
[tex]\log_3\left(2x^2-19x+9\right) < \log_39[/tex]
Теперь и в левой, и в правой части у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, и мы можем сравнить выражения под знаком логарифма. Но прежде обратим внимание на основание. Основание равно 3, что больше единицы, значит, знак неравенства не меняется.
[tex]2x^2 - 19x + 9 < 9\\\\2x^2 - 19x < 0\\\\x\left(2x - 19\right) < 0[/tex]
Для начала найдем значения, при которых множители в левой части обратятся в ноль. С первым множителем всё просто, получаем [tex]\boldsymbol{x = 0}[/tex], а теперь найдём ноль второго множителя.
[tex]2x - 19 = 0\\\\2x = 19\\\\\boldsymbol{x = \dfrac{19}{2}}[/tex]
Решим неравенство методом интервалов.
+ - +
--------------------------о--------------------------о-------------------------->
[tex]0[/tex] [tex]\frac{19}{2}[/tex] [tex]x[/tex]
Так как неравенство имеет знак "меньше", то нам надо выбрать те промежутки, где стоит знак "минус". Такой только один: [tex]\boldsymbol{x\in\left(0;\ \frac{19}{2}\right)}[/tex] . Но не забываем про найденную нами в самом начале область определения, согласно которой наш [tex]x[/tex] не может быть меньше, чем 9. Таким образом, наша левая граница сдвигается к 9, а правая остаётся такой же. И получаем финальный ответ: [tex]\boxed{\boldsymbol{x\in\left(9;\ \frac{19}{2}\right)}}[/tex] .
Ответ: [tex]\boldsymbol{x\in\left(9;\ \dfrac{19}{2}\right)}[/tex] .