Логарифмическое неравенство.. Created by Алкадиеныч. algebra-ru

Выполним подстановку:Тогда неравенство примет вид:Рассмотрим сначала первую строчку (ту, где знаменатель отрицательный). Поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен, эта строка может дать нам лишь одно значение t = 1, которое при обратной подстановке дает нам единственное решениеТеперь рассмотрим вторую строку (знаменатель положительный):Это неравенство верно при любом t, следовательно, решением исходного неравенства будет условие ,что верно при t<0 и при t>3.Выполним обратную подстановку:Поскольку является возрастающей функцией, из этих неравенств следуетОтвет: х∈(0; 1)∪{3}∪(27; +∞)

Логарифмическое неравенство...

Алкадиеныч @Алкадиеныч

July 2022 1 30 Report

Логарифмическое неравенство.

Answers & Comments

ankoles

Verified answer

Выполним подстановку:
$t=log_3(x)$
Тогда неравенство примет вид:
$\frac{t }{t-3} \geq \frac{2}{t} + \frac{5}{t^2-3t} \\ \\ \frac{t^2 }{t^2-3t} \geq \frac{2(t-3)+5}{t^2-3t} \\ \\ \frac{t^2 }{t^2-3t} \geq \frac{2t-1}{t^2-3t} \\ \\$

$t^2 \leq 2t-1,t^2-3t\ \textless \ 0 \\ t^2 \geq 2t-1,t^2-3t\ \textgreater \ 0 \\ \\ t^2 -2t+1 \leq 0,t(t-3)\ \textless \ 0 \\ t^2 -2t+1 \geq 0,t(t-3)\ \textgreater \ 0 \\ \\ (t-1)^2 \leq 0,0\ \textless \ t\ \textless \ 3 \\ (t-1)^2 \geq 0 ,t(t-3)\ \textgreater \ 0 \\$

Рассмотрим сначала первую строчку (ту, где знаменатель отрицательный). Поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен, эта строка может дать нам лишь одно значение t = 1, которое при обратной подстановке
$log_3(x)=1$
дает нам единственное решение
$log_3(x)=log_3(3) \\ x=3$

Теперь рассмотрим вторую строку (знаменатель положительный):
$t^2 \geq 2t-1,t^2-3t\ \textgreater \ 0 \\ t^2 -2t+1 \geq 0 \\ (t-1)^2 \geq 0 \\$
Это неравенство верно при любом t, следовательно, решением исходного неравенства будет условие
$t^2-3t\ \textgreater \ 0 \\ t(t-3)\ \textgreater \ 0 \\$ ,
что верно при t<0 и при t>3.

Выполним обратную подстановку:
$log_3(x)\ \textless \ 0 \\ log_3(x)\ \textless \ log_3(1) \\ \\ log_3(x)\ \textgreater \ 3 \\ log_3(x)\ \textgreater \ log_3(27)$
Поскольку $log_3(x)$ является возрастающей функцией, из этих неравенств следует
$0\ \textless \ x\ \textless \ 1 ; \\ x\ \textgreater \ 27$

Ответ: х∈(0; 1)∪{3}∪(27; +∞)

1 votes Thanks 1

contrlc x=3?

ankoles ой, забыла в ответ добавить корень

ankoles спасибо

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social