а) при повороті на 90° за годинниковою стрілкою координати точки М (м; 1) перетворюються за формулами:

x' = y, y' = -x,

де (x, y) - початкові координати точки, А (x', y') - координати цієї точки після обертання.

Застосовуючи ці формули, отримуємо:

x' = 1, y' = -m

Точка N (n; 4) виходить в результаті такого повороту. Значить, маємо систему рівнянь:

n = 1, 4 = -m

Звідси знаходимо, що m = -4, n = 1.

б) при повороті на 90° проти годинникової стрілки щодо точки Р (1; 4) координати точки E (-4; m) перетворюються за формулами:

x' = (x - a) * cos(a) - (y - b) * sin(a) + a,

y' = (x - a) * sin(a) + (y - b) * cos(a) + b,

де (x, y) - початкові координати точки, (A, B) - координати центру повороту, а а - кут повороту в радіанах.

Підставляємо відомі значення і отримуємо систему рівнянь:

(1 - (-4)) * cos(pi/2) - (m - 4) * sin(pi/2) + 1 = 3,

(1 - (-4)) * sin(pi/2) + (m - 4) * cos(pi/2) + 4 = n.

Враховуючи, що cos (pi/2) = 0 і sin (pi/2) = 1, спрощуємо систему:

5 + m = 3,

1 - 5 + n = m.

Звідси знаходимо, що m = -2, n = -6.

Таким чином, мінімальне значення змінної дорівнює -6