Ответ:

Разность большего и меньшего чисел равна 77.

Число m = 39, n = -38.

Объяснение:

Найти такие целые числа m и n, чтобы выполнялось равенство

5n = 83 - 7m,

а сумма чисел n и m была положительной и наименьшей из возможных.

В ответе записать разность большего и меньшего из этих чисел.

1) Выразим переменную n из равенства 5n = 83 - 7m.

[tex]\displaystyle n = \frac{83-7m}{5}.[/tex]

Мы видим, что разность (83 - 7m) делится на 5. Значит она оканчивается на 0 или 5.

2) Чтобы разность оканчивалась на 0 или 5, нужно от числа 83 отнять число 7m такое, которое оканчивается на 3 или 8, и это число должно быть кратно 7.

Тогда число m оканчивается на 9 или 4.

Действительно,

если m = 4, то

 [tex]\displaystyle n = \frac{83-7\cdot 4}{5}=\frac{83-28}{5}=\frac{55}{5}=11[/tex]

если m = 9, то

[tex]\displaystyle n = \frac{83-7\cdot 9}{5}=\frac{81-63}{5}=\frac{20}{5}=4[/tex]

3) Если продолжим вычислять дальше, то увидим закономерность:

c увеличением числа m на 5 число n уменьшается на 7.

Число m принимает значения  m = 4 + 5k,

а число n принимает значения n = 11 - 7k,

где k натуральное число, k = 1, 2, 3 ...

4) По условию сумма чисел n + m должна быть положительной и наименьшей.

n + m > 0

4 + 5k + 11 - 7k >0;

15 - 2k > 0;

2k < 15;

k < 7,5.

k - целое число.

Если k = 7, то m = 4 + 5 * 7 = 4 + 35 = 39,

n = 11 - 7 · 7 = 11 - 49 = -38.

m = 39;  n = -38.

5) Сумма целых чисел m и n

m + n = 39 - 38 = 1 наименьшая положительная.

Проверка.

При m = 39, n = -38

5 * (-38) = 83 - 7 · 39

-190 = 83 - 273

-190 = -190. Верно.

6) Разность большего и меньшего:

39 - (-38) = 39 + 38 = 77.