Запишем равенство через цифры : A,Э,M

(10A+M)(10Э+M)=(10M+Э)(10M+A)

Заметим, что цифра M не может быть нулем, ибо нуль не может стоять вначале двузначного числа, таким образом, можно поделить обе части равенства на M^2, деля при этом на M каждую из скобок:

(10A/M+1)(10Э/M+1)=(10+Э/M)(10+A/M)

Для удобства обозначим:

A/M=x;  

Э/M=y;  

(10x+1)(10y+1)=(10+x)(10+y)

100xy+10x+10y+1 = 100+10y+10x+xy

100xy+1=xy+100

99xy=99

xy=1

1/y=x

М/Э = А/М​

Что и требовалось доказать.