Максимальный балл Решить дифференциальное уравнение: x''=-k*x где k принадлежит N объясните как получается из q''=-w^2*q (производная по t) q=qsin wt (уравнение колебательного процесса)
1) переписываем уравнение в виде x''+k*x=0. Это однородное ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, для его решения составляем характеристическое уравнение r²+k=0. Так как по условию k- натуральное число, то r²=-k<0. Отсюда r1=i*√k, r2=-i*√k, где i=√-1. Тогда данное уравнение имеет общее решение x(x)=A*cos(x*√k)+B*sin(x*√k). Ответ: x(x)=A*cos(x*√k)+B*sin(x*√k).
2) записываем уравнение в виде q''+w²*q=0. Это также однородное ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид r²+w²=0, откуда r²=-w². А так как при любом значении w w²>0, то r²<0. Тогда r1=i*w, r2=-i*w, где i=√-1. Общее решение уравнения имеет вид q(t)=A*cos(w*t)+B*sin(w*t). Если теперь добавить начальное условие q(0)=0, то получится уравнение 0=A*1, откуда A=0. Тогда q(t)=B*sin(w*t). Обозначая B=q, получим искомое равенство q(t)=q*sin(w*t).
2 votes Thanks 1
victorgalkin
как у вас получились из характеристического уравнение синус и косинус?
Vasily1975
Оно имеет комплексные корни. А в этом случае решение содержит косинус и синус.
Vasily1975
Но дам подсказку: однородное ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет в случае неравных корней характеристического уравнения k1 и k2 общее решение y=A*e^(k1*x)+A2*e^(k2*x). Если же k1 и k2 - комплексные сопряжённые числа (а они могут быть только сопряжёнными), то k1=a+i*b, k2=a-i*b. А по формуле Эйлера, e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). Вот отсюда и появляются синус и косинус.
Answers & Comments
Verified answer
1) переписываем уравнение в виде x''+k*x=0. Это однородное ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, для его решения составляем характеристическое уравнение r²+k=0. Так как по условию k- натуральное число, то r²=-k<0. Отсюда r1=i*√k, r2=-i*√k, где i=√-1. Тогда данное уравнение имеет общее решение x(x)=A*cos(x*√k)+B*sin(x*√k).Ответ: x(x)=A*cos(x*√k)+B*sin(x*√k).
2) записываем уравнение в виде q''+w²*q=0. Это также однородное ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид r²+w²=0, откуда r²=-w². А так как при любом значении w w²>0, то r²<0. Тогда r1=i*w, r2=-i*w, где i=√-1. Общее решение уравнения имеет вид q(t)=A*cos(w*t)+B*sin(w*t). Если теперь добавить начальное условие q(0)=0, то получится уравнение 0=A*1, откуда A=0. Тогда q(t)=B*sin(w*t). Обозначая B=q, получим искомое равенство q(t)=q*sin(w*t).