Ответ:

148

Пошаговое объяснение:

Если n не полный квадрат, то √n не целое и иррациональное число. Тогда, так как x+√n натуральное, то x=k-√n, k∈N.

Подставляем x=k-√n: x²+26√n=k²-2k√n+n+26√n=k²+√n(26-2k)+n

Так как x²+26√n, k², n натуральные, то √n(26-2k) целое. Тогда, так как √n иррационально, либо (26-2k)=a√n, a∈Z (1), либо (26-2k)=0 (2).

(1) n∈N по условию, √n∉Z, a∈Z → a√n∉Z. С другой стороны, k∈N → (26-2k)∈Z. Противоречие.

(2) (26-2k)=0 → k=13

Тогда x²+26√n=169+n, а x+√n=13.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

13<330 и 169+n<330

n∈R      и       n<161

n<161

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Так как x+√n=13, то количество x-ов, удовлетворяющих условию, совпадает с количеством n, удовлетворяющих условию.

От 1 до 161 полные квадраты: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 - всего их 12. По ограничению 0<n<161 и 12 квадратам, входящим в этот интервал, получаем количество n, равное (161-0-1)-12=160-12=148. А значит и количество x-ов равно 148