Для того, щоб довести, що вираз 1/m² + m² є цілим числом, потрібно спробувати скористатися ідентичністю квадратів суми і різниці двох чисел:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Тоді:

1/m² + m² = (1/m + m)² - 2

Ми можемо знайти значення виразу 1/m + m, раціоналізувавши знаменник:

1/m + m = (1/m + m) * (m - √6 + √7) / (m - √6 + √7)

= (1 - m(√6 - √7)) / (-1)

= m(√7 - √6) + 1

Тепер, підставляючи значення m, отримаємо:

1/m² + m² = (m(√7 - √6) + 1)² - 2

= (6 - 2√42 + 7 + 2m(√42 - 1) + m²) - 2

= 11 + m² + 2m(√42 - 1) - 2

= 9 + m² + 2m(√42 - 1)

Залишається довести, що вираз 9 + m² + 2m(√42 - 1) є цілим числом. Оскільки m = √6 - √7, то:

m² = 6 - 2√42 + 7 = 13 - 2√42

Тоді:

9 + m² + 2m(√42 - 1) = 9 + (13 - 2√42) + 2(√6 - √7)(√42 - 1)

= 22 - 2√42 + 2(√6√42 - √7√42 - √6 + √7)

= 22 - 2√42 + 2(√6√42 - √42)

= 22 - 2√42 + 2√42 - 4

= 16

Отже, ми довели, що вираз 1/m² + m² є цілим числом і його значення дорівнює 16.