Ответ:

Периметр четырехугольника АВMN равен 11 см.

Объяснение:

Через центр окружности, вписанной в треугольник АВС, провели прямую MN параллельно сторонам АВ (точки M и N принадлежат соответственно сторонам ВС и АС). Найдите периметр четырехугольника AВMN, если известно, что AВ = 5 см, MN = 3 см.

Дано: ΔАВС;

Окр.О - описана около ΔАВС;

О ∈ MN;

MN || AB;

AB = 5 см; MN = 3 см.

Найти: Р(АВMN)

Решение:

Обозначим углы цифрами для удобства.

• Периметр - сумма длин всех сторон четырехугольника.

АВ = 5 см; MN = 3 см.

Надо найти ВМ и AN.

• Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

⇒ ВО - биссектриса ∠В; АО - биссектриса ∠А.

Тогда:

∠1 = ∠2; ∠4 = ∠5.

MN || AB  

• При пересечении двух параллельных прямых секущей, накрест лежащие углы равны.

⇒ ∠1 = ∠3 (накрест лежащие при MN || AB и секущей ВО)

∠4 = ∠6 (накрест лежащие при MN || AB и секущей АО)

⇒ ∠2 = ∠3;   ∠5 = ∠6.

Рассмотрим ΔОВМ.

∠2 = ∠3

• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

⇒ ВМ = МО.

Рассмотрим ΔАОN.

∠5 = ∠6

⇒ ΔАОN - равнобедренный.

АN = NO

P(ABMN) = AB + MN + BM + AN = AB + MN + MO + NO =

= AB + MN +MN = 5 + 3 + 3 = 11 (см)

Периметр четырехугольника АВMN равен 11 см.

#SPJ1